Integrali defiuiti 17 



4.0 L' integrale duplicato per la quadratura 

 delle superficie curve è 



ove , — sono le derivate parziali della z de- 

 djc cly 



dotte dall'equazione della superficie 



2=/(x, 7 ). 



Sono cogniti da lungo tempo i metodi per trasfor- 

 mare gli integrali duplicati , triplicati ec, e nel 

 nostro caso si eseguisce la trasformazione quando 

 chiamando r, fx, v tre nuove variabili, si abbia per 

 equazione della superficie 



/• = «p ( /J., y ) 



Quindi sìeno, r', r^, le derivate parziali della r ri- 

 guardo a Ui e V, ed infine, x , ;'', z ^ ^,J, ^. ^e 

 derivate parziali delle x^ j ^ z , relative alle me- 

 desime /x, V, sarà l'integrale trasformato 



S^ffd[xd.) |/".V 4- Y^ -H Z^' 



e ponendo per brevità 



X = Y^z — zy , Y = jcz' — x'z, , Z=xy — x'y^ 



Riassumendo ora i valori di x, j, z dedotti dalle 

 ultime equazioni dell'antecedente numero, sarà 



r^jy rl/'lJ'^ — b". \^b^ — v^ ri/c^-fx^.l/'c'-v' 



^ ~ he ^^~ bì/^c^ — b'' '^ c\/c^ — b^ 



Dififcrenziando parzialmente ie x, ;-, z riguardo al- 

 le variabili /x, v, per ottenere le derivate, e po- 

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