Quadratura dkll*ellissoide 9 



4.° La nuova integrazione relativa alla varia- 

 bile q non può farsi che in serie, e non tardere- 

 mo a mostrare, che le funzioni ellittiche di prima 

 e seconda specie sono precisamente le serie che 

 rappresentano la superficie dell'ellissoide. 



Nel caso di un ellissoide di rivoluzione l'inte- 

 grazione può facilmente eseguirsi ; supponendo 

 1.° che l'asse di rotazione sia 2a, e Z>=c, avremo 



l/^A = {^b^ = Z»% B = a^h\cos^q 4- seri'q) = a^b* 



per cui integrando 



^a^hn r l/^a^-b'' \ 



S=2Z>»;rH — Are I tans =^-— — - 



\ra^-b^ \ b J 



Questa espressione può mettersi sotto due forme 

 secondo che il semiasse a e maggiore, o minore del 

 semiasse b. La ipotesi di a >• ò da per l'ellissoide 

 di rivoluzione 



S = 2b^n -H^ Arci tang= ^ 1 



qualora sì ponga 



l^a^ -- b^ =ai 



Che se anche fosse b :=a, riuscirà £^= o; allora 

 per la teoria de'limiti 



1 / az\ 



lim. ^ Are I tang =: — I = 1 



e viene al solito per la superficie della sfera 



S = 47ra^ 

 Sia 2.° 2b l'asse di rivoluzione; ponendo in questo 



