Matematica 63 



II. 



Gli sviluppi di X„ , X'„ ..., P^ , P'„ , ... si pos- 

 sono trovare per mezzo del teorema di Taylor, e di 

 una importante estenzione di questo relativa agli svi- 

 luppi di una funzione di p -\- z, in serie infinite, le 

 quali contengano potenze negative dell' incremento. 

 Sia infatti 



cos ijj = a: , ì sen ^ e'^ = js 



ol terremo l'equazione rimarcabile 



2z (cos 9 4- ^■ sen (p cos vj)==(x-l-5)* — 1 . 



Quindi sostituendo vj in vece di 3' — vj nella serie di 

 sopra supposta per lo sviluppo della potenza 

 C cosp ~\- i seno? cos(3— >j) ]" ed introdotte le quantità 

 esponenziali invece dei coseni, proviene 



[ (.r -f^ a)2 — 1 ]" = 2" z" (cos 9 + 1 senp cos vj ) " 

 == 2" z- [ X„ 4- ^• X'„ é^-n — X"„ e2«vj _ iX\ e3«->j . , . 



-}- ì X'„ e-^ — X"„ e-2*>? — i X"'„ e-3«'>7 . . . ] 



= 2^." (x„4-x',. -^-i-x"„ -4-H- r"„ -4- 



\ sen (p sen^9 sen-^^ 



— X'„ sen f z^'4-X"„ sen* f xr^ — X'",^ sen^^ z-^.... j 



Essendo sen 9 = j/^i — .r' , e le quantità Xi"*' es- 

 sendo funzioni della sola x , la serie precedente sì 



