Equazione cubica n5 



seguente 



1 5 D» (E» — F^)-! + D^ (2D^ — E^ — F»)'- 



-H 1 5 £2 (F^ — D^)^ -f- E^ (2E2 _ F^ — D^-)^ 



H- 1 5 F= (D^» —• £3)2 4- F» (2F* — D" — E^)^ = o . 



Profittando principalmente di questa formula come 

 di punlo di parlen?;a, sono pervenuto finalineule a 

 risolvere la formula geperale (iella seguente somm^ 

 di quadrati positivi 



' 1 5 [ EFa+DIEvF^') ]'-H-[2/5yD-|-(y-/3)EF-<-D(2D^-E='-F^)]* 

 J-+-15[FD^Sh-E(FvD3) V-^ 1 2y«EH-(«.7)F£|+E(2E^-F2-D^) y 

 -hi 5 CDE7+F(D^-rE^) y-f- [ 2a/3F-(-(|3-a)DE+F(2F^-D2-E2)]> 

 -f- [ apy ■+. aD^ -{- ^E^ ■+- yF^ ]=» = o. 



Da ciò che quest'espressione non può mai riuscire ne- 

 gativa, si deriva immediatamente che, supponendo rea- 

 li i coefficienti A, B, C, D, E, F, l'equazione cu- 

 Ijica ha sempre reali le sue tre radici. Inoltre, affui- 

 chè l'equazione cubica abbia due radici uguali, cia- 

 scuno de' quadrati precedenti dovrà svanire per se 

 medesimo: lo che somministra apparentemente sette 

 equazioni; ma si dimostra di leggeri che tutte sono 

 sodisfatte se hanno luogo le due prime, cioè l'equa- 

 zioni 



EF«. 



•D(E=' — F^) = o.. FDp-f-E(F-— D^)=o. 



E queste sono le due condizioni necessarie e bastan- 

 ti, purché due delle quantità D, E, F non isvanisca- 



