8o Scienze 



ed i coefficienti A', B', sono le due radici dell'equazione 



p^ — (A -h B) /)H- AB — C^^ = O , 



le quali sono sempre reali, quando reali sono i coefficienti A, B, 

 C. La condizione, perchè quest'equazione abbia eguali le sue 

 radici, consiste nell'uguaglianza 



o = (A -f- B)2 — 4 (AB — C) = (A — B)2 h- 4C» . 



Quest'uguaglianza, nel caso de'coefficienti reali, si risolve natu- 

 ralmente nelle due seguenti condizioni 



A = B, C = o, 



ma rimane condizione unica nel caso, che pe' coefficienti A, 

 B, C, si ammettano pure de' valori immaginari. In questa ipo- 

 tesi non sarà mai possibile di cacciare dal trinomio 



Ax^ -H B»/2 -f" 2Cxy 



il prodotto, per mezzo dell'indicata sostituzione. Ed infatti i va- 

 lori de'coefficienti a, b, a, b', essendo quelli che nell'equazioni 



{p — A) l — m C = o , {p — B) m — l C = o , l^ -+- m^ == 1 , 



prendono / ed m, per ciascuna delle due radici A', B' di 



p2 _ (A -I- B) p -+- AB — C^ = O , 

 saranno 



A' — B , B — B' 



a2 =^ 



a'z:b' ' " " A-B- 



_ A— A __ A — B' 



' A' -B' ' ' A'"^ B^ ■ 



E, per A' r= B', questi quattro valori diventano infiniti , salvo- 

 che insieme col denominatore non isvanisca ciascuno de'quattro 

 numeratori. Quindi la proposta sostituzione sarà impraticabile, e 

 però insolubile il problema, quando, per A' — B'= o, non resta 

 sodisfatta la condizione dell'evanescenza di que'nunieratori,cioè 

 se non si abbia 



A =A=B, 



la quale, in virtù di 



(p) p2_(A-HB)p-+-AB — C^ = o, 



