MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 



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Se dOiS conjantos (A) e (B) nrio têm a mesma potência, mas (A) 

 é equivalente a uma pdrte de (B), diz-se que a potência de (B) é 

 superior à de {A), ou que a potência de (A) é inferior à de (B). 



5. — A noeâo de jjotência, fundamental na teoria dos conjuntos, 

 apresenta-se, como se acaba de ver, com um carácter de relativi- 

 dade. Cantor, que a introduziu na sciência, procurou, todavia, defi- 

 ni-la independentemente da comparação de dois conjuntos. 



Sob uma forma simples podo dizer-se que a potência dum con- 

 junto é o conceito que ele surjere à nossa razão quando abstraímos 

 da natureza e da disposição dos seus elementos. 



Esta definição, aplicada a um conjunto finito, faz coincidira 

 noção de potência com a do número dos elementos que o consti- 

 tuem, pois é na verdade a única cousa que pode interessar, quando 

 se abstrai da natureza dos elementos do conjunto e da ordem por 

 que estão dispostos. E não há dúvida que dois conjuntos finitos 

 com igual número de elementos têm a mesma potência, embo^-a se 

 dê a esta palavra a sua acepção anterior, pois que é sempre possí- 

 vel estabelecer entro os elementos dum e doutro uma correspon- 

 dência perfeita. 



Daqui vem, o tomar Cantor como sinónimas as designações de 

 jjòtência e número cardinal. 



Aplicada, porém, a um conjunto infinito, aquela definição perde 

 muito da sua clareza. Aásim, por exemplo, dois conjuntos finitos, 

 um dos quais seja constituído só com parto dos elementos do outro, 

 não têm a mesma potência, visto não serem formados de elementos 

 em número igual. Ora, tratando-se de conjuntos infinitos, pode 

 sucedor que um deles seja constituído só com elementos tirados do 

 outro, e tenham ambos, apesar disso, a mesma potência. E o que 

 se reconhece comparando o conjunto (2) com o dos números pares 



2, 4, 6. ... n, ...," 



que é formado com parte dos elementos do primeiro. Há, evidente- 

 mente, uma correspondência unívoca e recíproca entre os elemen- 

 tos dum e doutro, donde se segue que, não obstante aquala cir- 

 cunstância, são de facto equivalentes. 



O mesmo se reconhece numa infinidade doutros exemplos, tais 

 como os que proporcionam os conjuntos compreendidos uns expres- 

 sões onerais 



ou 



i , 2m\, ' '3 w , . . , nm 



em que m designa qualquer número inteiro e positivo. Todos eles 

 são formados com parte dos elementos de (2) e, apesar disso, têm 

 todos a mesma potência que êle. 



