MATEMÁTICAS, físicas E NATURAIS 7» 



O conjunto (5) é, portanto, numerável, visto quo cada um dos 

 seus elementos liça precedido (e seguido) dum elemento determi- 

 nado. 



Mais geralmente, se os elementos do conjunto são definidos 

 por um número limitado qualquer n de índices, ou parâmetros, 

 /? , q , . . . , í , estabeleça-se a equação 



(6) p-^q-\- ... J^f=m, 



em que m designa qualquer número inteiro e positivo nâo inferior 

 a n. Esta equação tem um número limitado de soluções em núme- 

 ros inteiros e positivos, e demais, no caso presente, só é necessá- 

 rio utilizar as que são formadas por números inteiros, positivos 

 e significativos (*). Se nela se atribuem a m, sucessivamente, os 

 valores n, n-}-l, w-j-2, w-|-3, ... , as soluções ■ úteis, que 

 dela se tiram, definem todos os elementos do conjunto proposto na 

 ordem por quo vai crescendo a soma dos seus índices, e dentro de 

 cada grupo, em que a soma dos índices 6 constante, é sempre pos- 

 sível numerar os seus elementos constitutivos, visto serem em 

 número finito. Consegue-se então escrever seguidamente, numa 

 ordem determinada, todos os elementos do conjunto proposto. Logo,^ 

 dum modo geral, o conjunto cujos elementos se distlvguevi pelos va- 

 lores dum número determinado de índices, ou parâmetros, susceptí- 

 veis de tomarem todos os valores inteiros; é um conjunto numeráveL 

 E para notar, pelo que se viu no § 6, quo ainda se verifica a 

 propriedade de o conjunto ser numerável quando, sendo em número 

 infinito os seus elementos, todos, ou parte, dos índices, ou parâme- 

 tros, que os definem, não paãsam por todos os valores da suces- 

 são (2); ou quando, embora todos passem por esses valores, não 

 figuram nos elementos do conjunto todas as suas combinações pos- 

 síveis. 



§ 10. — Da observação feita no último período do parágrafo 

 anterior resulta que o conjunto dos números racionais positivos é 

 numerável. 



(*) O número das soluções que a equação (G) admite em números iuteiros^ 



e positivos, sem exclusão do zero, é dado por í ), uu seja pelo número 



daá combinações distintaí- de vi -\- n — 1 objectos tomados m a m. Entre as de- 

 monstrações deste teorema notável figuram duas do Sr. Dr. Gomes Teixeira, 

 publicadas na Gaceta de Matemáticas Elementales, de Madrid. Desde o momento 

 em que se excluem os valores nulos das incógnitas, o número das soluções que 

 interessam deduz-se evidentemente daquela expressão substituindo m por m — n. 

 O número das soluções da equação (6) em números inteiros, positivos e signifi- 



. /'" -^\ . (m — 1 ) ( m — 2) . . . {m — A-) 



cativos, e, pois, ( 1 > f>u fazendo m — «=/.', ,. 



\TO — «/ /.■ ! 



(/. = l , 2, . . .). Para /,' = O, o número das soluções reduz-se evidentemente à 

 unidade. 



