78 JORNAL DE SCIÉNCIAS 



De facto, todos os números desta classe se podem representar 



sob a forma de fracções irredutíveis — , distinguindo-so, portanto, 



uns dos outros pelos valores de dois parâmetros p Q q, primos 

 entre si, cada um dos quais pode passar por uma infinidade de 

 valores inteiros e positivos. 



Por outro lado, como há uma correspondência perfeita entre os 

 elementos deste conjunto e os do conjunto formado pelos números 

 racionais negativos, sogue-se que o conjunto dos números racionai» 

 negativos é numerável, 



E, aplicando o princípio do § 8, conclui-se (jue o conjunto dos 

 números racionais é nninerável. 



% 11. — Para que da junção de conjuntos numeráveis resulte um 

 conjunto numerável não é preciso que Osses conjuntos sejam em 

 número finito ; pode haver uma infinidade deles, contanto que essa 

 infinidade seja numerável. 



Pode-se, na verdade, definir cada elemento do conjunto resul- 

 tante indicando o número de ordem m do conjunto parcial a que 

 pertence, e o seu número de ordem n nesse conjunto parcial; cada 

 elemento m,„, „ do conjunto resultante fica assim determinado por 

 dois índices, cada um dos quais pode tomar todos os valores da 

 sucessão (2). Entáo (§ 9) o conjunto for/nado pela reunião duma 

 infinidade numerável de conjuntos numeráveis é numerável. 



§ 12. — Dada a generalidade com que se define conjunto, con- 

 cebe-se a possibilidade de haver conjuntos infinitos que não sejam 

 numeráveis. E o que importa mostrar desde já é que, dado um 

 conjunto infinito qualquer, isto ó, numerável ou não, é sempre pos- 

 sível extrair dolo uma infinidade de elementos formando um con- 

 junto numerável, sem que o conjunto formado pelos elementos res- 

 tantes deixe de ser infinito. 



Com efeito, podo-se sempre conceber que dum conjunto infinito 

 se extraiam elementos em número limitado, formando um conjunto 

 finito (Al). 



O número dos elementos restantes é ainda infinito, e concebe-se 

 do mesmo modo a possibilidade de tirar dele outros elementos, em 

 número limitado, formando um segundo conjunto finito (A2). 



Os elementos restantes continuam sendo em número ilimitado, e 

 se extrairmos deles com que formar um terceiro conjunto finito (A3), 

 os elementos sobrantes são ainda em número infinito. 



Podemos repetir esta operação indefinidamente, porque os ele- 

 mentos que restam, depois de se tirarem conjuntos finitos em 

 número tam grande quanto so queira, continuam sendo sempre em 

 número ilimitado. 



Obtemos assim uma sucessão ilimitada de conjuntos finitos 



(Al), (A2) , (A3) , ..., (A„) , ..., 



