MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 79 



constituídos por pontos do conjunto dado, e se tomarmos um ele- 

 mento ai em (Ai) , outro a± em (A2) , . . . e assim sucessiva- 

 mente, obtemos uma sucessão de pontos do mesmo conjunto 



«1 5 «2 , • • • , a« , • • . , 



que formam, na verdade, um conjunto numerável. E os olomontos 

 restantes sâo, evidentemente, em número infinito. 



Exemplifiquemos. Se se trata do conjunto dos polinómios intei- 

 ros emTa-', os conjuntos (Ai), (A2), (A3J, ... podem ser figura- 

 dos respectivamente por colecções de poliaómios do 1." grau, do 

 2.'^ grau, do 3.° gVau, . . . , ou ató por um polinómio de cada 

 grau. 



Se o conjunto a considerar é o de todos os pontos duma esfera, 

 podemos imaginar um cubo inscrito neste sólido, e uma sucessão 

 indefinida de cubos de faces paralelas, contidos dentro do primeiro, 

 e cujas arestas decresçam em progressão geométrica. Os conjuntos 

 finitos (A„) podem ser formados pelos oito vértices de cada um 

 desses cubos sucessivos. 



§ 13. — A proposição do parágrafo anterior permite estabelecer 

 a recíproca do princípio demonstrado no § 11, isto é, todo o con- 

 junto numerável pode ser decomposto numa injinidade numerável de 

 conjuntos numeráveis sem elementos comuns. 



Com efeito, extraída dum conjunto numerável uma infinidade de 

 elementos formando um conjunto numerável, e de modo que os ele- 

 mentos restantes sejam ainda em número infinito, pode-se aplicar 

 ao conjunto desses elementos restantes a mesma operação, e assim 

 indefinidameute. Ora esta infinidade de conjuntos, sem elementos 

 comuns, que deste modo se extraiem do proposto, é uma infinidade 

 numerável, pois, conservando os seus elementos a mesma disposi- 

 ção relativa que tinham no conjunto proposto, pode-se sempre ima- 

 ginar esses conjuntos dispostos pela ordem da grandeza crescente 

 dos índices dos seus primeiros elementos. 



Consideremos, por exemplo, o conjunto dos números inteiros da 

 série natural. Pode-se extrair dele, em primeiro lugar, o conjunto 



1, 2, 3, 5, 7, 11, ..., 



formado por todos os números primos; depois o conjunto 



4, 6, 8, 10, 12, 14, ..,. , 



"formado por todos os números pares, com exclusão do 2 ; depois 

 o conjunto 



9 , 15 , 21 , 27 , 33 , 39 , . . . , 



