MATEMÁTICAS, PTSICAS E NATURAIS 81 



O conjunto (H) não pode ser finito nem numerável, aliás (E) 

 ■seria numerável (§§ 7 e 8), o que é contra a hipótese. 



Decomponha-se então (H) noutro conjunto numerável (N') e num 

 <;onjunto infinito (H'), o que é sempre possível (§ 12). (H') não pode 

 ser numerável, aliás (H) sê-lo-ia também. E, visto ter-se simbolica- 

 mente 



{8) (H) = (N') + (H'), 



(E) poderá considerar-se constituído pelos três conjuntos (N), (NM 

 e (H'), ou, o que é o mesmo, pelo conjunto numerável (N -{- N') 

 formado pela junção dos conjuntos (N) e (N'), e pelo conjunto (H'), 

 ou seja, simbolicamente, 



(9) (E) =-- (N -L N') -f (HO- 



As igualdades simbólicas (8) e (9) provam o teorema, pois por 

 meio delas se reconhece que há uma correspondência perfeita entre 

 ■os elementos de (E) e (H). Os de (H') são, com efeito, comuns a 

 estes dois conjuntos ; e entre os de (N -{- N') e (N'j pode estabele- 

 cer-se uma correspondência unívoca e recíproca por serem ambos 

 numeráveis. 



Reciprocamente, ndo se muda a i^otência dam conjunto não 

 numerável juntando-lhe um conjunto numerável. 



Com efeito, sendo (E) o conjunto proposto e (N) um conjunto 

 numerável, o conjunto ( É 4- N) tem a mesma potência que o que 

 se obtém suprimindo-lhe o conjunto numerável (N), isto é, tem a 

 mesma potência qiie (E). 



Observação. — E íácil de ver que estes princípios ainda são ver- 

 dadeiros, mesmo que na designação de conjunto numerável se con- 

 sidere incluído, como caso particular, o conjunto finito. Com efeito, 

 sendo (A) um conjunto finito e (N) um conjunto numerável, juntar 

 í3lQ conjunto (E) o conjunto finito (A) equivale a juntar-lhc o con- 

 junto numerável (A-}--N), e a suprimir em seguida no conjunto 

 resultante os elementos que formam o conjunto (N). Ora nenhuma 

 destas operações altera a potência de (E). E analogamente se 

 raciocina, para o caso da supressão de elementos, que formam um 

 conjunto finito. 



§ 15. — Ainda se pode tirar mais uma conseqiiência importante 

 da proposição estabelecida no § 12. 



Como dado um conjunto infinito não numerável (H), é sempre 

 possível a decomposição 



(H) = (N') + (HO 



