82 JORNAL DE SCIÊNCUS 



em que (N') ó numerável e (II'j é equivalente a (H), vú-se que há 

 em (H) uma parte (N'j, que tom a potência do numerável, de sorte 

 que a potência de (II) é, por defiuiçHo (§ 4), superior a essa potência. 

 Pode-se dizer, portanto, que a potência dos conjuntos numerá- 

 veis é inferior h de todos os outros conjuntos infinitos que houver. 

 E a menor das potências conhecidas. 



§ 16. — Quando um conjunto tem a mesma potência que o dos 

 mimoros reais do intervalo (O, 1), diz-se que tem a potência do 

 continuo. Poderíamos dizer simplesmente (pie é um conjunto continuo. 



Por exemplo, o conjunto dos números reais compreendidos, no 

 sentido lato, entre dois números quaisquer a q b tem a potôncia do 

 contínuo, pois, fazendo 



X =^a -\- {b — rt) // , 



vé-se que a cada valor atribuído a ;/ , de O a 1, resulta para a- um 

 único valor, de a a ò,- e, reciprocamente, a cada valor atribuído 

 a a?, de a a 6, resulta para // um único valor, do O a 1. 



O conjunto dos números irracionais do intervalo (O, 1) — ou, 

 eui geral, do intervalo (a, h) — tem também a potência do contí- 

 nuo. Para o demonstrar note-se que, não se sabendo ainda se a 

 potência do numerável é, ou não, igual à do contínuo, é forçoso 

 considerar como possíveis ambas as hipóteses. 



Se o conjunto dos números reais do intervalo (O, 1) fosse 

 numerável, da supressão dos números racionais do mesmo inter- 

 valo resultaria o conjunto dos números irracionais compreendidos 

 entre O e 1, que seria ainda numerável (§ 6), isto é, tena a mesma 

 potência que o conjunto proposto. 



Sendo este não numerável verifica-se a mesma circunstância, 

 pois não se altera a potência dura conjunto não numerável supri- 

 mindo-lhe elementos que formam um conjunto numerável (§ 14). 



Vê-se, pois, que, qualquer que seja a verdadeira hipótese, o 

 conjunto dos números irracionais do intervalo considerado tem 

 ainda a potência do contínuo. 



§ 17. — Posto isto, facilmente se reconhece que um conjunto j 

 que tem a jJotêncía do contínuo, não é numerável. 



Para o demonstrar basta considerar o conjunto dos números 

 irracionais compreendidos entre O e 1 (§ IG). 



Todos estes números podem reprcsentar-se, e dum újiico modo, 

 por fracções contínuas ilimitadas sem parte inteira. 



É fácil mostrar que, qualquer que seja a convenção que se 

 adopte para os dispor numa ordem determinada, sobejam sempre 

 elementos que não podem ter lugar nessa dis])osição ; por outras 

 palavras, ó fácil mostrar a impossibilidade de numerar todos os 

 elementos do conjunto. 



