MATEMÁTICAS, FÍSICAS E MATURAIS 83 



Se, com efeito, so imaginasse poder dispô-los numa sucessão 

 numerável 



(10) a?i , x-2 , 



sendo 



> "-II ) 



Xi = — -^ + -—T- + •■--- '3- + 

 a. \ a, \ a. 



poder-ae-ia sempre, por meio dela, formar um número pertencente 

 ao conjunto, mas não pertencente à sucessão. Bastaria defini-lo por 



'1 \ f^z I "3 



uma vez que se fizesse • 



(11) b,>aÍ. (t = l, 2, 3, ...) 



Este número x é, de facto, irracional, porque se exprime por 

 uma fracção contínua ilimitada; é menor que a unidade, poi-que 

 essa fracção contínua não tem parte inteira; e é distinto de todos 

 os números da sucessão (10) em virtude da condição (11), pois 

 que, para duas fracções contínuas terem o mesmo valor, é neces- 

 sário que tenham iguais entre si todos os seus cocientes incomple- 

 tos das mesmas ordens. Então o conjunto dado não pode ser nume- 

 rável, q. e. d. 



18. — As considerações dos §§ 12 e 14 revestem um carácter 

 de evidência quando o conjunto infinito, de que se trata, tem a 

 potência do contínuo. 



Como podemos estabelecer uma correspondência perfeita entre 

 os elementos desse conjunto (E) e os números reais do inter- 

 valo (O, 1), os elementos de (E) que corresponderem aos números 

 racionais desse intervalo formcirão um conjunto numerável (N), 

 e os restantes, correspondentes aos números irracionais do mesmo 

 intervalo, formarão um conjunto (h), que não poderá ser finito 

 nem numerável. A decomposição traduzida pela igualdade simbó- 

 lica (7), acha-se, pois, realizada. 



