AIATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 85 



ros irracionais do intervalo [n — 1, //). Então os elementos de 

 (El + E2 -|- . . • -j- E„) íicíirão correspondendo unívoca e reci- 

 procamente aos números irracionais do intervalo (0^ n), donde 

 se segue que ê§se conjunto tem realmente a potência do contínuo 



(§ 16). 



Esta propriedade mantem-se mesmo que n cresça indefinida- 

 mente, isto é, o ' conjunto formado pela reunião duma infirddade 

 niimeràcel d^ coiijuntos, fem elemeutos comuns, com a i^otência do 

 continuo, tem ainda a potência do continuo. 



Com efeito, sejam (Ei), (Ei), . . . , (E,,), . . . esses conjuntos. 

 Tome-se uma sucessão de números racionais crescentes 



«1 , 



que tendam para um limite racional ^l (por exemplo, as fracções 

 sucessivas 



12 3 n 



1"' 1~' T' * ' ■ ' ^í ' " ' ' 



que tendem para o limite 1), e estabeleça-se uma correspondência 

 perfeita" entre os elementos de (Ei) e os números irracionais com- 

 preendidos entro ao e ci ; entre os elementos de (E2) e os número» 

 irracionais compreendidos entre ai e as; e assim sucessiva e inde- 

 finidamente. Os elementos do conjunto (Ei -f E-2 -|- ••• + E„ -]-... ) 

 ficarão numa correspondência perfeita com os números irracionais 

 compreendidos entro ao e jí, donde se segue que esse conjunto 

 tem, de facto, a potência do contínuo. 



Oompreende-se a razão por que em ambos os enunciados se 

 supõe que os conjuntos componentes não têm elementos comuns. 

 Considerando, para fixar ideas, o último princípio, é óbvio que, se 

 houvesse um elemento comum a dois conjuntos (Ej;), (E^), esse ele- 

 mento corresponderia a dois, e não a um só número irracional do 

 intervalo (ao, A), um dos quais pertenceria ao intervalo (a;;_. 1, a^), 

 e o outro ao intervalo (a;_j , a,). 



Do segundo dos princípios demonstrados resulta que o con- 

 junto de todos os números reais tem a potência do continuo; esse 

 conjunto podo, com efeito, decompor-se numa infinidade numerá- 

 vel de conjuntos, sem elementos comuns, com a potência do contí- 

 nuo [por exemplo, os conjuntos formados pelos números reai« dos 

 intervalos (O, ±100), (±100, ±200), (±200, ±300), etc, ex- 

 cluído em cada um deles o extremo posterior]. 



§ 20. — Da correlação existente entre os pontos geométricos 

 e os sistemas de números depreende-se imediatamente que todos os 

 pontos duma recta, ou dum segmento de recta, formam conjuntos 

 cem a potência do continuo. 



