86 JORNAL DE SCIÊNCUS 



Cantor demonstrou também que o conjuvto de todos os pontos 

 dum quadrado tem a potência do contínuo. 



Na domonstraçiío pode referir-se o quadrado ao sibtoma do 

 eixos coordenados, que se obtém prolongando dois dos seus lados 

 concorrentes. Neste caso, se é í o comprimento do lado do qua- 

 drado, as coordenadas de todos os seus pontos estão compreendi- 

 das, no sentido lato, entre O e /. E, como há uma correspondência 

 perfeita outro esses valores das coordenadas o os números reais 

 do intervalo (O, 1), vô-se que, para a demonstração, é lícito consi- 

 derar só os números deste intervalo, isto é, considerar apenas, 

 como fez Cantor, o quadrado do lado 1. Mas ainda se j^ode ir mais 

 longe no caminho da simplificação. Por a cada número real do 

 intervalo (O, 1) corresponder, unívoca e recipi ocamente, um 

 número írriícioual do mesmo intervalo, o conjunto dos pontos do 

 quadrado de coordenadas reais quaisquer tem a mesma potência 

 que o ^conjunto dos pontos do quadrado do coordenadas irracio- 

 nais. E, portanto, lícito considerar apenas estes últimos. Ora as 

 coordenadas (x, y) de cada um deles, em relação aus eixos adop- 

 tados, podem exprimir-se por fracções contínuas ilimitadas sem 

 parte inteira, tais como 



(13) 



então a cada sistema destes dois números pode-se sempre fazer 

 corresponder um número irracional ^ definido por 



(14) 



e compreendido, portanto, no intervalo (O, 1). 



Reciprocamente, a cada número irracional l, deste intervalo, que 

 sempre se podo exprimir por (14), é lícito fazer corresponder um 

 sistema determinado de números (.r, y\ dados por (13), e definindo, 

 conseguintemonte, um ponto do quadrado de coordenadas irracio- 

 nais. 



Logo, o conjunto dos pontos do quadrado do lado 1 (ou, me- 

 lhor, o conjunto dos pontos dum quadrado) ó equivalente ao con- 

 junto dos números irracionais do intervalo (O, 1), isto é, tem a 

 potência do contínuo, q. e. d. 



Demonstrado este teorema, é manifesto que tem ainda a potên- 

 cia do contínuo o conjunto dos pontos do qualquer figura que se 

 possa decompor na soma dum número finito ou duma infinidade 

 numei ável do quadrados (§ 19). 



