88 JOKNAL DE SCIÊNCIAS 



O forinc-sc: uma nova fracção continua tomando sucessivaraento 

 para cocientes incompletos os elementos dôste quadro, tirados das 

 sucessivas linhas diagonais, da esquerda para a direita, ou seja 



I fli i a-.' I ^1 I «3 \ ('2 ! 'l I «4 



l, será um aúmero irracional do intervalo (O, 1 ), donde se segue 

 que a cada sistema de valores das variáveis (,t\ , ./-o , . . . , íi*„ , . . .) 

 corresponde um número irracional, o um só, do mesmo inter- 

 valo. 



Reciprocamente, dado l, pode-se formar o quadro (16) escre- 

 vendo sucessivamente as suas linhas diagonais, e organizar, em 

 face dele, os desenvolvimentos (15); daqui resulta que a cada nú- 

 mero irracional do intervalo (O, 1) corresponde um, e um só, sis- 

 tema de valores das variáveis. 



Existe, pois, uma correspondência perfeita entre os elementos 

 da conjunto proposto e os números irracionais do intervalo (O, 1); 

 o primeiro tem, conseguintemente, a potência do contínuo, q. e. d. 



% 22. — Dados dois conjuntos (A) e (B), designe-se por (Ai) 

 uma parte aliquota qualquer do (A) e por (Bi) uma parte aliquota 

 qualquer de (B). 



8o existo um conjunto (Ai) que tem a potência de (B), mas não 

 há nenhum conjunto (Bi) que tenha a potência de (A), nao se pode 

 estabelecer uma correspondência perfeita entre os elementos de (A) 

 e (B); estes dois conjuntos nâo são equivalentes, e a potência de (A) 

 é' superior à de (B), (§ 4). E nao se pode neste caso estabelecer 

 uma correspondência perfeita entre os elementos de (A) e do (B) 

 porque, se a cada elemento de (Ai) corresponde um, e um só, ele- 

 mento de (B), os restantes elementos de (A) ou não têm os seus 

 correspondentes em (B), ou, so os têm, há em (B) elementos que 

 correspondem a mais do que um elemento de (A). 



Semolhanteraonte, se existe um conjunto (Bi) que tem a potên- 

 cia do (A), o náo existe um conjunto (Ai) que tenha a potência de 

 (B), a potência de (1>) é superior à de (A). 



j\ías pode suceder que haja um conjunto (Ai) com a potência 

 de (B) e um conjunto (B|) com a potencia de (A). Se se toma, por 

 exemplo, para conjunto (A) o conjunto dos números ímpares 



1 , 3, 5, 7, ..., 2n — l, ... , 

 c para conjunto (B) o dos números duplamente pares 

 4 , 8 , 12 , IG , ... , 4n, ... , 



