MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 89 



poder-se há tomar para (A.i) o conjunto 



3, 7, 11, 15, ..., 4.71 — 1, ... , 



e para (Bi) o conjunto 



4, 12, 20, 28, ... , 4(2n — 1) ... ; 



(Al) tem evidentemente a mesma potência que (Bi o (Bi) a mesma 

 que (A). 



Se se toma para (A) o conjunto dos números reais do intervalo 

 (O , l) G para (B) o conjunto dos números reais do intervalo (O, 1), 

 (Al) pode ser, por exemplo, o conjunto dos números irracionais do 

 intervalo (O , l) o (Bi) o conjunto dos números irracionais do inter- 

 valo (O, 1); e (Al) e (Bi) verificam ainda a mesma dupla condição. 



Em ambos estes casos concretos (A)'e (B) têm a mesma poten- 

 cia; e é o que se verifica sempre na última hipótese considerada. 



§ 23. — Com efeito prova-se facilmente que dois coiy/tntos (A) 

 e (B) têm a mesma potência se (A) tem a mesma potência quê uma 

 parte de (B), e (B) a mesma potência que uma parte de (A). 



Por outras palavras: Dois conjuntos (A) e (B) têm a mesma po- 

 tência se se pode fazer corresponder a todos os elementas de (A) ele- 

 mentos diferentes de (B), e a todos 03 elementos de (B) elementos dife- 

 rentes de (A). 



Mudando de notação, por comodidade, reprosente-se agora por 

 ô (A) a parte de (A) que tem a potência de (B), e por r (A) o con- 

 junto restante; por a (B) a parte de (B) que tem a potência do (A) 

 e por p (B) o conjunto restante. Pode-se escrever simbolicamente 



(A) = ò (A) 4- r (A), 



(B) = «(B) + p(B); 



e como b (A) tem a potência de (B) basta estabelecer que (A) o b(A) 

 têm a mesma potência. 



Posto isto, notemos que qualquer conjunto (A'), que seja. equiva- 

 lente a (A), é susceptível duma decomposição análoga .•'. de (A), 

 visto quo, depois de se haver estabelecido a correspondência per- 

 feita, que existe entre (A) e (A'), pode-se reunir num conjunto 

 b (A') os elementos de (A') que correspondem aos de b (A), e noutro 

 conjunto r(A'j os elementos restantes, que correspondem a r(Á). 

 Aplicando estas considerações ao caso do conjunto a (B) vê-se a pos- 

 sibilidade de o decompor em dois, a designar por b (aB) e r («B), 

 considerando se as letras b e r como símbolos de operações, apli- 

 cáveis aos conjuntos equivalentes a (A), e tendo como resultado 

 decompô-los em dois com as potências de b(A) e r(A). 



