MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 91 



(A) e ô(A) têm, pois, a mesma potência, o c mesmo acontece, por 

 conseguinte, a (A) e (B), q. e. d. 



§ 24. — Além das relações entre os conjuntos (A) e (B) consi- 

 deradas nos dois parágrafos precedentes, uma quarta pode verifi- 

 car-se: é a de não haver em (A) nenhum conjunto parcial (Ai) 

 com a mesma potência que (B), nem em (B) nenhum conjunto par- 

 cial (Bi) com a mesma potência que (A). E o que se verifica, evi- 

 dentemente, quando (A) e (B) sâo conjuntos finitos de igual número 

 de elementos. Neste caso, os dois conjuntos têm a mesma potência ; 

 mas pregunta-se: — ^Dar-se há o mesmo facto se, verificando-se 

 aquela condição, os cooj untos (A) e (B) forem infinitos? — A ques- 

 tão é importante, pois que, se a resposta é afirmativa, poder-se 

 há asseverar que, dados dois conjuntos quaisquer, só dois casos são 

 possíveis, ou têm ambos a mesma potência, ou a potência dum ó 

 superior à do outro. vSe a resposta é n-egativa, poderá haver con- 

 juntos cujas potências não sejam comparáveis, isto é, dados dois 

 conjuntos quaisquer, a potência dum poderá não ser igual, nem 

 superior, nem inferior à do outro. 



O Sr. Borel, a quem esta dificuldade vivamente preocupava, 

 expô-la ao próprio Cantor, quando se encontraram no Congresso 

 de Zurich, em Agosto de 1897; mas a resposta do fundador da 

 teoria não pôde satisfazê-lo, pois se limitou a comunicar-lhe ver- 

 balmente o seu sentimento de que, nas condições formuladas, os 

 conjuntos (A) e (B) têm a mesma potência, jx falta, pois, duma de- 

 monstração, que ainda ninguém produziu, diz com razão o Sr, Bo- 

 rel que a questão continua por decidir. 



Para mim ainda outra dúvida se apresenta: ^Se os conjuntos 

 (A) e (B) são infinitos, poderá dar-se o caso de nem haver em (A) 

 uma parte equivalente a (B), nem em (B) uma parte equivalente 

 a (A)? 



§ 25. — Embora no § 5 mencionasse a definição de Cantor, des- 

 tinada a dar a noção de potência independentemente de qualquer 

 substrato, nunca separei a noção abstracta de potência da noção 

 mais concreta de conjunto, e da mesma forma continuarei proce- 

 dendo, visto as propriedades, que se tem procurado estabelecer 

 para as potências consideradas independentemente dos conjuntos 

 que as possuem, não apresentarem utilidade apreciável na teoria 

 das funções. 



Partindo de conjuntos determinados, definimos as potências do 

 numerável e do contínuo, e vimos que a segunda é superior à pri- 

 meira. ^Não haverá outras potências? Para responder a esta ques- 

 tão o Sr. Borél, numa das Notas às suas Leçons sur la théorie des 

 fonctions, mostrou como se pode definir conjuntos tendo potências 

 cada vez maiores, empregando um método de Cantor, e examinou 

 a possibilidade de conceber conjuntos nessas condições. Reprodu- 

 zindo em parte a sua análise, começarei por mostrar como se pode 



