92 JORNAL DE SCIÊNCIAS 



doiSnir um conjunto tendo uma potência superior à doutro conjunto 

 dado (E). 



Designemos por x um olemeuto qualquer de (E), apor /(a?) 

 uma função do elemento j-, que .tó pode tomar iiin dos doiti valores 

 O e 1, mas que é porfoitamente determinada em cada ponto de (E) (*). 

 Teudo-se, naturalmente, como distintas duas destas fundões, sempre 

 quo nao tomem os mesmos valores em todos os pontos de (E), va- 

 mos mostrar quo o conjunto (F), formado por todas as funções f[ir), 

 têm uma potência superior à de (E). 



Para isso mostremos, em primeiro lugar, que em {V) existe um 

 conjunto parcial (Fi), que tem a potência de lE). Podemos de facto 

 fazer corresponder a cada elemento ./• de (E) a função /(,/•) que 

 toma o valor zero nesse elemento e o valor 1 em todos os outros. 

 O conjunto destas funções, que são todas distintas, constitui na rea- 

 lidade uma parte (Fi) de (F), que tem a potência de (E). 



Daqui resulta que a potência de (F) não pode ser inferior à de 

 (E) ; e bastará mostrar que nao lhe é igual para se poder concluir 

 que lhe é superior. 



Se o conjunto (F) tivesse a mesma potência quo [Fj) poderíamos 

 representar por fy {x) a função que correspondesse a um elemento 

 // de (E), e se este // fosse (qualquer, f,j (./•) poderia representar 

 todos os elementos de (F). Oi'a ê fácil de ver que existe uma fun- 

 ção f [x) distinta de todas as funções /,, (.r), a qual pode ser defi- 

 nida por 



sendo -x- um elemento qualquer de (E). Estas desigualdades definem 

 completamente a funçHo /(./), porque não podendo o seu valor em 



(*) E fácil imaginar fiin>,^uei; nestas condições. Podemos, por exemplo, con- 

 siderar uma função que em todos os pontos do intervalo em que é dellnida, de 

 abicissa racional, toma o valor O, o em toilos os pontos de abscissa irracional, 

 o valor 1; ou inversamente 



Querendo funções que se exprimam por símbolos algi'!briros, podemos con- 

 siderar, por exemplo: 





função que supomos delinida no intervalo ( — 1, -(- 1). Facilmente se reconhece 

 que ela toma o valor 1 em toilos os pontos dêáte intervalo, excepto no ponto O, 

 em que toma o valor 0. 

 A função 



I (N -i- X) - I (N), 



definida no intervalo (0,1^, em cuja expressão N designa qualqui^r núnicro in- 

 teiro, e a funçào I (z) representa o maior número inteiro contido cm z, {> evidcn- 

 mentc nula em todos os pontos daquele intervalo, excepto no extremo 1, em que 

 é igual a 1. 



