MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 93 



qualquer elemento se de (E) ser senão zero ou 1, sabe-se sempre 

 qual é: é zero, quando /« (.r) é igual a 1, o 1 quando /^ (.r) é igual 

 a zero. Ora a função /(*) assim definida não podo ser iguai a ne- 

 nhuma das funções fy {x), pois que qualquer delas toma no ponto 

 X ==. y o valor /y [y), a função /(.r) toma nesse ponto o valor f(//); 

 e pela condição (19) tem-se 



fiu) + fvill) 



Então a potência de (F) é necessariamente superior à de (E), 

 visto que são comparáveis, e a primeira não é superior, nem igual, 

 à segunda. 



Se tomarmos para conjunto (E) um conjunto numerável, facil- 

 mente se vê que o conjunto (F) tem a potência do contínuo. Supondo 

 (E) o coujunto-tipo 



1, 2, 3, 4, ..., n , ..., 



e correspondendo a cada um destes números uma infinidade do valo- 

 res das funções f{x) iguais, arbitrariamente, a O ou a 1, podemos com 

 esses valores formar fracções decimais, tais como 0,010011101 . . ., 

 as quais, supostas escritas no sistema de numeração de base 2, po- 

 dem representar todos os números reais compreendidos entre O o 1. 

 O conjunto de todas essas fracções tem então a potência do contí- 

 nuo; donde se segue que o conjunto (F) tem realmente, neste caso, 

 a potência do contínuo, visto ser constituído por uma infinidade nu- 

 merável de conjuntos com a mesma potência. E certo que se apre- 

 senta aqui uma pequena dificuldade, proviente da duplicação de valo- 

 res que resulta da igualdade entre as dízimas limitadas, tais como 

 0,0101, e as dezenas ilimitadas correspondentes, 0,010011111 . . . ; 

 mas esta dificuldade é fácil de remover, porque, como as dízimas 

 limitadas representam números racionais, o seu conjunto é numerá- 

 vel, e portanto a eliminação dos pontos correspondentes do con- 

 junto (F) não influi na sua potência (§ 14). 



Se o conjunto (E) tem a potência do contínuo, pode-se dizer 

 que o conjunto (F) é, por exemplo, o conjunto das funções discon- 

 tínuas duma variável real, que tomam somente um dos dois valo- 

 res O ou 1. Pelo que se acaba de ver, esse conjunto tem uma 

 potência superior à do contínuo (*), 



Consideremos em seguida esse conjunto (F) e separemos de 

 qualquer modo em duas classes todas as funções que êle encerra. 

 O cocjunto desses modos de separação tem uma potência superior 



(*) É fácil rle ver que tem a potência de (F) o conjunto de tolas o q;iais- 

 qiier funções discontinuas. Consulte-se a Cste respeito a monografin cita-la do 

 Sr. Borol. 



