MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 97 



O ponto limito, as variáveis a'„ ■> Un, • • • convergem respectiva- 

 mente para ^ , vj , • • • . 



Se a sucessão dos pontos p tem a potência do contínuo, é sem- 

 pre possível extrair dela sucessões numeráveis que tendam para o 

 mesmo ponto limito (§ 18), e considerando uma quiilquer dessas 

 sucessões numeráveis, as cousas passam-se como no caso anterior. 



Chama-se ponto limite ou de acumulação dum conjunto (E) a 

 todo o ponto que é ponto limite duma sucessão de pontos de (E). 

 A colecção desses pontos forma um outro conjunto (E'), que se 

 chama o derivado do primeiro. 



Os pontos limites dum conjunto, que o são duma sucessão não 

 numerável do pontos desse conjunto, receberam de Lindelof o nome 

 especial de pontos de condensação. 



Exemplitiquemos, recorrendo para mais simplicidade aos con- 

 juntos lineares. 



O conjunto dos números inteiros não tem pontos limites, nem 

 por conseguinte conjunto derivado. 



1111 



O conjunto das fracções --, — , — , . . • , — , • • • tem zero 



por ponto limite ; o derivado reduz-se a esse ponto, qne não per- 

 tence ao conjunto dado. 



^ . , 12 2 4 4 6 



O conjunto dos números — , — -, — , — , — , — , •••, 



X JL Ó Ó DO 



, , .... tem como único ponto limite o elemento 1 



2 ,1 — 1 ' 2 » + 1 ' ' ^ 



do próprio conjunto, que contém assim o seu derivado. 



O conjunto dos números racionais compreendidos entre a e b, 

 no sentido restrito, (isto é, >« e <C.b), tem por derivado o conjunto 

 dos números reais compreendidos entre a e b, no sentido lato (isto 

 é, ^ a e ^ ò). Com efeito, qualquer número real compreendido entre 

 a e b pode cousiderar-se como o limite de duas sucessões de núme- 

 ros racioniiis, uma decrescente, outra crescente, compreendidas no 

 mesmo intervalo; e os números extremos a. e b, como limites, cada 

 um deles, duma sucessão de números racionais compreendidos entre 

 a e b, decrescentes para o primeiro e crescentes para o segundo. 

 Neste caso o conjunto está compreendido no seu derivado. Todos os 

 seus pontos são pontos limites, mas há ainda outros pontos limites 

 que não são pontos do próprio conjunto. 



O conjunto dos números reais compreendidos entre a e b no sen- 

 tido lato coincide, pelo que se acaba de ver, com o seu próprio con- 

 junto derivado. 



Vô-se, por estes exemplos simples, que um conjunto podo ter, 

 ou não ter, pontos de comum com o seu derivado. vSe os tem, os 

 pontos comuns são evidentemente pontos limites ; os pontos que não 

 são comuns ao conjunto e ao seu derivado receberam a qualificação 

 de isolados. 



Um ponto isolado caracteriza-so pela seguinte propriedade: É 

 sempre possível determinar um número e suficientemente pequeno 



