MATEiAlÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 99 



Conjunto fechado ó o que contém o seu derivado. Entre a infini- 

 dade de pontos, que o constituem, há pontos limites e pontos isola- 

 dos; de cada espécie, pelo menos, um. E o caso do conjunto 



12 2 44 2n 2n 



T"' 1~' T' "T' "õ"' * ■ ■ ' 2rt— 1 ' y n + 1 ' * * * 



Conjunto concentrado é o que está contidoiuo seu derivado. E 

 o caso do coiijuiito dos números racionais compreendidos en- 

 tre a e b. 



Conjunto 2)erfe>to é o que coincide com o seu derivado. Pode 

 também dizer-se que é um conjunto fechado sem pontos isolados; 

 ou que é um conjunto ao mesmo tempo concentrado e fechado. E o 

 caso do conjunto dos números reaes compreendidos entre a e ô no 

 sentido lato. 



Jordan não distingue entre os conjuntos perfeitos e os conjun- 

 tos fechados ; chama a todos perfeitos, definindo-os como geral- 

 mente se definem os fechados. Isso obriga-o, quando precisa refe- 

 rir-se em especial aos conjuntos, que sáo perfeitos para a grande 

 maioria dos geómetras, a empregar o circumlóquio : — que coinci- 

 dem com o seu derivado — . 



O Sr. Borel, querendo conciliar a nomenclatura de Jordan com 

 a necessidade de distinguir as duas espécies de conjuntos, lembrou 

 que se chamasse covj untos absolutamente perfeitos aos conjuntos 

 perfeitos, e conjuntos relativamente perfeitos aos conjuntos fecha- 

 dos; mas a divisão em perfeitos e fechados é a geralmente admi- 

 tida. 



Há também quem chame aos conjuntos concentrados conjun- 

 tos densos em si mesmos; mas vem a pêlo observar que se dá a 

 qualificação de densos aos conjuntos em que se verifica uma de- 

 terminada propriedade; importa, por censeqúência, fazer a com- 

 paração entre os conjuntos densos e os conjuntos densos em si 

 mesmos. 



Um conjunto é denso quando entre dois quaisquer dos seus pon- 

 tos se pode sempre intercalar um terceiro, e, consoguintemeute, 

 uma infinidade. Desta defini(::ao resulta que um conjunto pode ser 

 concentrado sem ser denso. É o caso do conjunto constituído pelos 

 números reais maiores que O e não superiores a 1, e pelos núme- 

 ros reais não inferiores a 2 e menores do que 3. O seu derivado é 

 constituído pelos números reais dos intervalos (O, 1) e (2, 3) no 

 sentido lato. O conjunto proposto está, então, contido no seu deri- 

 vado, e ó, portanto, concentrado, ou denso em si mesmo. Por outro 

 lado, não satisfaz à definição que indiquei de densidade, pois que 

 entre os seus elementos 1 e 2 não se pode intercalar nenhum 

 outro, por não existir. Em todo o caso, é formado de duas partes, 

 cada uma das quais é densa separadamente, os intervalos (O, 1) 

 e (2, 3), excluídos o extremo anterior para o primeiro, e o ex- 

 tremo posterior pí;ra o segundo. 



