MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 101* 



(las cinco classes defiaidas nos i^arágrafos anterioros. Com efeito, 

 os elementos dum conjunto de pontos, ou Scão pontos limites,- ou pon- 

 tos isolados; o daí vem que um conjunto desta natureza pode ter: 

 ' ou só pontos isolados ; 



ou só pontos limites ; 



ou pontos limites e pontos isolados. 



No primeiro caso, o conjunto é isolado. 



No segundo, pode suceder que o conjunto compreenda todos os 

 seus pontos limites ou só parte deles ; na primeira hipótese é per- 

 feito; na segunda, concentrado. 



Finalmente, no terceiro caso ainda pode suceder a mesma 

 cousa, isto é. o conjunto pode compreender todos os seus pontos 

 limites, ou só parto deles ; na primeira hipótese é fechado, na 

 segunda, comple.ro. 



Não há, evidentemente, outros casos possíveis. 



§ 33. — Afirma-S8 geralmente que mn conjunto (E'), derivado 

 doutro conjunto (K), é necessariamente fechado, e prova-se a ver- 

 dade desta afirmação i^nostrando que, se for t; um ponto limito 

 de (E'}, existem om (E) pontos cujo desvio em relação a tc é infe- 

 rior a um número positivo dado, tam pequeno quanto se queira. 

 Parte-se, pois, da hipótese de haver, pelo meuos, um ponto limite 

 de (E'), ^mas quem nos diz que (E'j tem efectivamente pontos 

 limites"? Dois dos exemplos considerados no § 28 são de conjuntos 

 cujo derivado se reduz a um pouto; não custa mesmo a conceber 

 a existência de conjuntos derivados finitos com mais do que um 

 elemento. Então a hipótese, donde se parte, não se justifica, uma 

 vez que os conjuntos finitos não tôm pontos limites. 



^Corrigir-se-ia o enunciado do princípio de que se trata jun- 

 tando a condição de (E') ter um número infinito de pontos? E fácil 

 do ver que ainda não ficaria correcto, pois que o derivado (E') 

 pode ter um número infinito de pontos e, todavia, não ter nenhum 

 ponto limito. Suponhamos, com efeito, que o conjunto (E) c o das 



Tracções da lorma , onde A' e n iiassam por todos os valores 



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inteiros, positivos e significativos. As fratfções, que respeitam ao 



mesmo valor do /.•, tendem para /.• quando n tende para o infinito, 



do sorte que o conjunto (E') coincide com o conjunto dos valores 



de k, quore dizer, é a série natural dos números inteiros, conjunto 



isolado. 



(E') tem, pois, um número infinito de pontos, mas não tem um 

 iinico ponto limite. 



O enunciado só pode, portanto, corrigir-se devidamente intro- 

 duzindo nele a condição necessária para se poder afirmar que (E^) 

 tem, pelo menos, um ponto limite; estamos, pois, aparentemente, 

 num círculo vicioso, visto o teorema relativo à existência do ponto 

 limite vir geralmente depois daquele em que se afirma que (E') ó 

 fechado. Afigura-se-me que todas estas dúvidas desaparecerão 



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