102 JORNAL DE SCIÊNCIAS 



inverteado ;i ordom por que estes princípios costumam ser apre- 

 sentados. K o que vou fazer, começando por estabelecer o teorema 

 relativo à cxistOncia do ponto limite; e considerarei ôsse teorema 

 com o enunciado mais geral com ([uo se mo tem deparado, pois 

 que, além dessa vantagem, da maior generalidade, tem ainda a do 

 não haver necessidade de fazer intervir a noyílo de conjunto limi- 

 tado, por emquanto desconhecida. 



§ 34. — Vamos então demonstrar que todo o conjunto, que num 

 espaqo limitado tem um número infinito de pontos, tem. pelo menos 

 um ponto limite (Teorema do Bolzauo-Weierstrass), 



Consideremos um conjunto (lí) a /.; dimensões, e sejam M e m 

 dois números finitos, o primeiro nao inferior e o seguado níío supe- 

 rior aos valores de todas as k variáveis x, y , ... que definem os 

 pontos de (E) no espaço que se considera. Tais números existem 

 forçosamente, visto esse espaço ser limitado (§ 27). 



Dividamos o intervalo M — m em n partes iguais. Cada um dos 

 valores de x, tj, ... cairá num desses intervalos, e se associar- 

 mos de todas as maneiras possíveis os intervalos qne respeitam aos 

 valores de todas as variáveis, obteremos n^ conjuntos parciais, em 

 cuja reiiniao se encontram todos os pontos da parte considerada 

 de (E); e é evidente que um pelo menos desses conjuntos parciais, 

 que designaremos por (Ei), há de conter uma infinidade desses 

 pontos. 



Vô-se também que o maior desvio que poderá haver entre dois 



M — 771 . ^I — m 



pontos quaisquer de (Ei) será k , visto represea- 



tar a maior diferença possível entre os valores de quaisquer das 

 variáveis que respeitam aos pontos dôsse conjunto parcial. 



Operemos agora sobre (Ei") como operámos sobre (E). Decom- 

 pO-lo-hemos assim em ?i'' conjuntos parciais, um dos quais, pelo me- 

 nos (que designaremos por (Eo)), conterá uma infinidade de pontos 

 de (xl;), e tal que o desvio entre dois quaisquer dôsses pontos nunca 



poderá exceder k — . 



Procedamos em seguida com (E2) como procedemos cora (Ei) e 

 assim sucessiva e indefinidamente. 



Cada um dos conjuntos (E), (Ei), (E2) ... contêm os seguin- 

 tes. Se tirarmos de (È) os pontos que nao pertencem a (Ei), depois, 

 do (El), os pontos que nao pertencem a (E2), o assim sucessiva e 

 indefinidamente, formaremos o conjunto (D) dos pontos que sáo 

 comuns a todos a(|ueles conjuntos. J^òsto isto, seja 7: um ponto de 

 (D); Pi um ponto qualquer de (EO; ;í2 um ponto qualquer de (Eá) 

 distinto de ^:)i,* pz um ponto qualquer de (E3) distinto <le p\. (' p-i: 

 e assim sucessivamente. 



Forma-se d6ste modo uma sucessão numerável de pontos 



pi , Pi, i^3 , . . . , Pj , "' , 



