MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 103. 



cujos desvios em relação a -k são respeetivamente não superiores a 



M — m M — m M — m M — m 



k , k ;; , k - , • • • , /'■ ~ • • • > 



e tendem por conseguinte para zero quando v cresce indofinida- 

 montc. O ponto tc é, pois, limite duma sucessão de pontos de (E), 

 donde se conclue que o teoi*ema é verdadeiro. Vê-se também que os 

 pontos limites existem no espaço limitado em que o conjunto (E) 

 tem, por hipótese, um número infinito de pontos : e pode haver um 

 apenas nesse espaço, o que corresponde ao caso do conjunto (D) 

 de reduzir a um ponto único. 



I 35. — Estabelecido o teorema do Bolzano-Weierstrass, ó fácil 

 concluir que o derivado (E') de qualquer conjunto (E), qne num es- 

 paço limitado tem um número iiifinito de 2^ontos, é necessariamente 

 um conjunto fechado. 



O conjunto (E') tem pelo monos um ponto limite (§ 34). Seja 

 então TU (a, (3, . . .) um ponto limite de (E'). Podemos, por hipó- 

 tese, determinar em (E') um ponto ^ {a', b', . . .) tal que o des- 



S- 



vio T:p' seja menor que — , por mais pequena que seja a quantidade 



positiva §. Por outro Kado, sendo js»' necessariamente um ponto limite 

 de (E), podemos determinar neste conjunto pontos p [a, h, . . .) 



^ 



tais que o desvio pp' seja também menor que — . Ora 



piz ^=- \ a — a \ -\- I (3 — h I -|- ..., 

 e como 



\ a. — a I = j a — a' -\- a' — a [ ^ | a — a' [ -{- \ a' — a \ , 



e analogamente 



\Ç,-h\t\^~b'\ + \h'-h\ 



e o mesmo para as restantes variáveis, se as houver, temos, 

 somando ordenadamente, 



p-^K-^p' ■{- pp'- 

 Tem-se, portanto, 



p t: < (5 , 



donde se conclui que z é um ponto limite de (E), e pertence, por 

 tcinto, a (E'). O conjunto (E') contém, então, os seus pontos limi- 

 tes, quere dizer, é um conjunto fechado, q. e. d. 



