104 • JORNAL DE SCIÊXCIAS 



§ 30. — Domonsta-sc ainda que o derivado (E') dum coiijunto 

 concentrado (E) d um conjunto perfeito. 



Para mostrarmos que o conJQnto (E') O, na realidade, [)orfeito, 

 temos do provar que ôlc coincido com o sou derivado ; o, como já 

 sabemos pelo § 35, que todos os pontos de (E"j sSo pontos 

 de (E'), basta provar que, reciprocamente, todos os pontos" de (E') 

 são pontos de (E"). 



Ora, como o conjunto (E) está contido em (E),. qualquer ponto 

 de (E') é limite duma sucessão de pontos do próprio (E'), o per- 

 tence ipso facto a (E''), (j. e. d. 



§ 37. — So um conjunto (El uílo contóm todos os pontos possí- 

 veis, os pontos possíveis, que não llio pertencem, formam outro 

 conjunto (C), que se chama o seu coniimto complementar. Assim 

 por oxojnplo, considerando como pontos possíveis todos os núme- 

 ros r<'ais, o conjunto dos números racionais e o dos níimeros irra- 

 cionais Scão dois conjuntos complementares. 



Sejam (E') e (C') os derivados do conjunto (E) e do seu com- 

 plementar (C). Podemos classiticar os pontos possíveis em três gru- 

 pos distintos : 



1." Os que pertencem a (E) som pertencerem a (C); 



2.° Os que pertencem a (C) sem pertencerem a (E'); 



3." Os que pertencem a (E) e (C), ou a (C) e (E'j. 



Os primeiros dizem-sc interiores ao conjunto (E), ou ateriores 

 ao conjunto (C), porque é sempre possível tomar um número e sufi- 

 cientemente pequeno para que todo? os pontos possíveis, cujo des- 

 vio, em relaçcão a qualquer deles, seja menor do que e, pertençam 

 a (E) e não a (C). Com efeito, se esse número nílo existisse, isto <'', 

 se, por menor que fosse a quantidade })Ositiva ò houvesse sejupre 

 pontos de [O, cujo desvio, em relação ao ponto considerado lôsse 

 menor do que õ, ôsse ponto seria limite duma sucessão de pontos 

 de (C), e pertenceria, iiortanto, a (C), o que é contra a hipó> 

 tese. 



Os segundos dizom-so exteriores ao conjunto (E) e iiiteriores 

 ao conjunto (C). Analogamente se rccoidiece que, neste caso, ó 

 sempre possível tomar um número e suíicientcmento pequeno para 

 que todos os pontos possíveis, cujos desvios, cm relação a qual- 

 (juer deles, sejam inferiores a £, ])ertençam a (C) e não a (E). 



Os terceiros, que fazem parto ao juesmo tempo dum conjunto 

 o do derivado do seu complementar, chamom-se pontosfronteiras. 



Note-se que a existCnicia dos pontos interiores ou exteriores não 

 é essencial, istç é, iiin conjunto pode ser constituído so por pon- 

 tos-fronteiras. E o que so dá, por exemplo, com o conjunto dos 

 números irracionais. Todos eles podem considerar-se como limites 

 de números racionais, isto é, pertencem ao mesnio tempo a (E) 

 e a (C); todos Oles sào, conseguintemente, }»ontos-fronteiras. 

 O mesmo so diz do conjunto complementar, formado pelos núme- 

 ros racionais. Entretanto, os conjuntos fechados, que tCm pontos 



