MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 105 



interiores, apresentam um interesse particular; Jordan dá-lhes, por 

 isso, o nome especial de domínios, palavra que, aliás, nem todos 

 os geómetras empregíim com a mesma acopçrio. 



§ 38. — Se um. conjunto não contém todos os pontos possíveis, lià 

 sempre pontos-fronteiras. 



Sejam, com efeito, p (a, h, . . .) um ponto de (E) e 7t (a, [3, . . .) 

 am ponto de (C), ambos tomados ao acaso. 



Designando por n um inteiro arbitrário, consideremos a suces- 

 são dos pontos 



(« + ^[— ]. ^ + -,>[P-*]. ••■) 



em que m toma sucessivamente os valores O, 1, 2, 3, 4, ... , 2". 

 O primeiro ponto desta sucessão é p; o último é tt. Seja pj, o últi- 

 mo dos seus pontos que ainda pertence a (E), e tij- o imediato, que 

 já pertence a (C). Pondo em evidencia os sistemas de valores das 

 variáveis, que os definem, poderemos escrever 



i5, (a + f,[a — a], Z, + f, [(3 — ô] / ...), 

 r.k {a -\- uu [a — «] , h -\- k,, [P — i] , • • ■), 



sendo tk e uu duas fracções compreendidas entre O e 1, diferindo 



entre si de —;^, e tais que a primeira não decresce e a segunda não 



cresce, quando n aumenta. 



Façamos então crescer n e suponhamos primeire que a fracção 4 

 nunca deixa de crescer, e a fracção uj- nunca deixa de diminuir. 

 Neste caso t/c e Uu tenderão pnra um limite conuim O, e os sucessivos 

 pontos 2h-, dum lado, e tv/,, do outro, terão, por limite comum o ponto 



Y(a-\-Q[a — a], è + 0[í3 + ò], , . .). 



Este ponto pertencerá, portanto, a (E') e (C')j e como também 

 pertence a (lii) ou a C, porque por estes dois conjuntos se repartem 

 todos os pontos possíveis, pertence ne.cessàriamente a um conjunto 

 e ao derivado do seu complementar. E ura ponto-fronteira. 



Se a fracção 4 ficar estacionária, ou com um valor constante tu 

 a partir dum corto valor de n, a outra fracção decrescerá tendendo 

 para íj : o^s sucessivos pontos vr^ , tt.j _^ i , ... , tenderão, portanto, 

 para 2^j- Este ponto pertencerá então a (C), e como também per- 

 tence a (E) é um ponto fronteira. 



Do mesmo modo se raciocinaria se fosse a fracção Uk qne ficasse 

 estacionária, ou com um valor constante u,j., a partir dum certo va- 



