lOG JORNAL DE SCIÊNCIAS 



lor de n: a fracção t,, cresceria iiesto caso, tendondo para ííu., e tudo 

 o mais so passaria como no caso anterior. 



§ 39. — E fácil provar que ti. fronteira dum conjunto, quando tenha 

 uma miinidade de pontoe, é um conju^rdo fechado, entendendo-so por 

 fronteira o conjunto dos pontos-fronteiras. 



Seja com efeito b{ , b-i , b-i , ...,/;„ ... uma sucessík) ilimi- 

 tada de pontos da fronteira (F ), que tendem para um ponto limite b. 

 Vamos demonstrar que h pertence a (F). 



Daqueles pontos Z>„, em número infinito, ha do haver uma iwfi- 

 nídãde pertencendo ao mesmo tempo, ou a (E) e (C), ou a (C) e 

 (E') ; ainda ([ue uào os haja em número infinito fazendo parto dôs- 

 tes dois grupos de conjuntos, há de necessariamente havê-los per- 

 tencendo a um deles. 



Suponhamos entáo que daqueles pontos-fronteiras há uma infi- 

 nidade pertencentes a (E) e a (C). O seu ponto limite b há de per- 

 tencer aos derivados (E') e (C''), e como (C) é fechado pertencerá 

 também a (C). Então, como todos os pontos possíveis se repartem 

 pelos conjuntos (E) e (C), se pertence a (E) é um ponto-fronteira, 

 por pertencer a (C); se pertence a (C) ainda é um ponto-fionteira, 

 visto pertencer a (E'). Então b pertence a (F), q. e. d. 



Do mesmo modo se raciocinaria supondo quo, dos poníos-fi-on- 

 teiras, havia uma infinidade pertencendo simultaneamente a (C) 

 e (E'). 



§ 40. — Se todos os elementos dnm conjunto linear são números 

 inferiores a um número dado L, o conjunto diz-se limitado superior- 

 mente ou à direita. 



Consideremos nesta hipótese o conjunto (A) formado pelos nú- 

 meros maiores que os elementos do conjunto dado (E), e designe- 

 mos por (Al) o conjunto complementar do (A), e por M o ponto- 

 fronteira destes dois conjuntos. 



O ponto M» assim definido, tanto pode pertencer a (A) como 

 a íAi), e ainda que pertença a (Ai) pode ])erteucer ou nãd a (E), 

 pois que, se todos os pontos de (E) pertencem a (Ai), pode suceder 

 qu(< nem todos os pontos de (Ai) pertençam a (E). Entretanto 

 aquele ponto goza destas i)ropriedades : 



l.""' Não há no conjunto (E) nenhum elemento maior do que M; 



2.^ Por menor que soja o número positivo ò existe sempre algum 

 elemento de (E) que seja >• M - '} e ^ M. 



Com efeito, se houvesse em (E) um elemento M' superior a M, 

 esse elemento não poderia pertencí-^r a (A), e pertenceria cousô- 

 guintemente a (Ai) ; isto 6, haveria pontos de (Ai) situados para a 

 direita o para a esquerda de M, o que é incompatível com o facto 

 de este ponto ser um ponto-fronteira. 



Por outro lado, se, não pertencendo l\í ao. conjunto (E). fosse 

 possível assin.i1.'ir nm lúinero p(i'<itiv.) 5 snfiei(Nite7i"n[ite ■[■)eqneno 



