MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 107 



para qne entre M e M — ò não houvesse nenhum elemento de (E), 

 qualquer número Mi compreendido entre M e M — d, seria superior 

 a todos os elementos de (E), e pertenceria, eonseguintemente, 

 a (A). Haveria, então, pontos pertencentes ao conjunto (A) situa- 

 dos h direita e à esquerda de M, o que ainda é incompatível com 

 o facto deste ponto ser um pouto-fronteira. 



O ponto M goza, portanto, de ambas as propriedades indica- 

 das ; é o que se chama o Innite superior do conjunto (E). 



De modo análogo, se todos os elementos do conjunto são supe- 

 riores a um número determinado l, o conjunto diz-so limitado infe- 

 riormente ou à esquerda, e existe um número m gozando das 

 seguintes propriedades : 



1/ Não há no conjunto (E) nenhum elemento menor do que w; 



2.* Por menor que seja o número positivo ò, existe sempre 

 algum elemento do (E) que seja <! w -f- «^ o >- m. 



Este ponto m é a fronteira comum do conjunto dos números 

 inferiores a todos os elementos de (E) e do seu conjunto comple- 

 mentar; é o limite inferior do conjunto (E). 



Sc o conjunto é limitado à direita e á esquerda, pode dizer-se 

 simplesmente que é limitado. 



Quando qualquer dos limites, M ou m, é um elemento de (E), 

 diz-se que é um limite atingido^ neste caso aos limites superior 

 e inferior também se dão, respectivamente, as designações de má- 

 ximo e mínimo do conjunto. E, todavia, conveniente notar que 

 alguns geómetras consideram sinónimas as designações de limite 

 superior ou máximo, e de limite inferior ou mínimo. Parece-me, 

 porém, mais lógica e naturiíl a nomenclatura que adoptei. 



§ 41. — Encarando a possibilidade de qualquer dos limites ser, 

 ou não, atingido, três casos se podem examinar. 



Supondo, para fixar ideas, que nos referimos ao limite supe- 

 rior M, ó evidente que : 



1.° Ou o limite M é atingido, mas existe um número positivo 5 

 suficientemente pequeno para que entre M e M — ò não haja nenhum 

 elemento do conjunto; 



2.*' Ou o limite M não é atingido, mas, por menor que seja o 

 número positivo (5, existe sempre algum elemento do conjunto entre 

 M e M— a; 



S:*^ Ou o limite M é atingido, e, ao mesmo tempo, por menor 

 que seja o número positivo (5, existe sempre algum elemento do 

 conjunto entre M e M — ò. 



Interessa, pois, conhecer: 



a) wSe, sendo o limite M atingido, existe, ou não, algum ele- 

 mento do conjunto compreendido entre M e M — ò, por menor que 

 seja (5; ou , 



b) Se, existindo sempre algum elemento do conjunto compreen- 

 dido entre M e M — ò, o limite M é, ou não, atingido. 



