108 JORNAL DE SCIÊNCIAS 



No caso da alínea a), a resposta é, ovidentomente, afirmativa so 

 o conjunto ó denso, pelo menos, nas vizijilianças do ponto M, por- 

 que então entre qualquer elemento do conjunto situado nessas vizi- 

 nhanças e o próprio ponto M pode-se sompro inti-rcalar um terceiro 

 elemento, e, portanto, uma inlinidade. Mas esta condiçílo da densi- 

 dade do conjunto nào é necessária. Com eleito, se o conjunto c 

 concentrado ou perfeito, todos os seus pontos (e, portanto, Mj slo 

 pontos limites, e a condição do haver elementos entre M e M — ò 

 veriíica-so necessíirianíonte; ora já vimos que um conjunto pode 

 ser concentrado sem ser denso, e mais adiante reconheceremos que 

 há conjuntos perfeitos que nao são densos em intervalo algum. 



Mas a condição do conjunto ser perfeito ou concentrado tam- 

 bém nfío ó necessária, pois que pode ser fechado e M coincidir com 

 um dos seus pontos limites; ó, por exemplo, o caso do conjunto 

 cujos elejnentos são 



.12 3 n 



2 ' 3 ' 4 ' " ' »-!-]' ■ " ' 



O limite superior do conjunto coincide com o seu único ponto limite, 

 ou seja o elonionto inicial 1. Entretanto, o ser o conjunto simples- 

 mente fechado não c condição suficiente, puis M pode coincirlir pre- 

 cisamente com um dos seus pontos isolados ; é o (pie se verifica no 

 conjunto dos valores da função 



/(.r) = sen^-i- j;- 



definida no intervalo (o, -). n supõe-so inteiro e positivo. O segundo 

 termo é igual a 1 no ponto -^ , o a zero em todos oo outros. Há um 

 ponto isolado — , que corresponde a .r= — ; todos os pontos res- 



tantes são pontos limites; e estes pontos limites preenchem o inter- 



« 1 



valo (O, 1), porque, embora a .r = --- não corresponda o valor— , 



esto valor não doixa de aparecer, porque ó o que se obtém 



5 . . 3 



para .r:=— ::. O limite superior ó, como se vé, o ponto isolado — . 



No caso da alínea b), M é necessariamente atingido se o con- 

 junto é fechado ou perfeito, pois que M, nesta hipótese, é um pouto 

 limite, o os conjuntos fechados e perfeitos compreendem todos os 

 seus pontos limites. Mas esta condição não é necessária, pois que, 

 si-ndo o conjunto simplesmente concentrado, pode,M ser justamente 

 um dos pontos comuns a ele e ao seu derivado. K o que confirma, 

 por exemplo, o conjunto formado por todos os pontos dos interva- 

 los (O, 1) e (2, 3). com exclusão do 1 e do 2. 



