MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 109 



Quanto aos conjuntos, que chamei complexos, com esses podem 

 verificar-se todos os casos. 



O conjunto (E), considerado no § 31, tem um limite superior 

 atingido, que é o número 2, mas entre 2 o 2 — d não há nenhum 

 elemento do conjunto logo que se tome ò<Cl. 



O conjunto dos valores da função 



. N 1 + 03 3 



definida no intervalo (O, 1), é complexo porque não compreende o 



ponto limite 1, e tem o ponto isolado -— ; neste caso o limite supe- 



rior 1 não é atingido, mas entre 1 e 1 — ò existe sempre algum 

 elemento do conjunto por menor que seja ô. 



Finalmente, o conjunto dos valores da função definida no inter- 

 valo (O, 1) 



1 



■ 2 



3 



sendo constituído pelos números r 1 e <.' ~ , pelo número 2 e pe- 



5 -^2 



los números > — e ^ 3, ó também complexo porque não com- 



^ 3 5 



2)reende os seus pontos limites -^ o -— , o tem o ponto isolado 2. 



O seu limite superior 3 é atingido, o entre 3 e 3 — 5 existe sempre 

 algum elemento do conjunto, por menor que seja á. 



Resulta desta discussão que só para os conjuntos 'perfeitos limi- 

 tados superiormente é que podemos afirmar à priori que o limite 

 superior M goza das três seguintes propriedades : 



1."'' Não há no conjunto nenhum elemento maior que M; 



2."'^ Há no conjunto um elemento igual a M; 



3.^ Por menor que seja o número positivo (5, existe sempre no 

 conjunto algum elemento compreendido entre M e M — h. 



Análogas considerações so podem fazer com relação ao limite 

 inferior. 



§ 42. — A questão de um limite ser, ou não, atingido pode apre- 

 sentar-se sob um outro aspecto, aliás equivalente no íundo. O limite 

 superior, por exemplo, é atingido quando há no conjunto um ele- 

 mento que é maior do que todos os outros; não o é no caso con- 

 trário. O primeiro caso verifica-se no conjunto dos números reais 

 compreendidos entre O e 1 no sentido lato; existe nele o ele- 

 mento 1, maior do que todos os outros, que é um limite superior 

 atingido. O segundo caso pode exemplificar-se com o conjunto dos 



