110 JORNAL DE SCIÊNCIA6 



números irracionais eomproondidos no incsmo ijitervalo, o qual 

 tem, ovidonteiriente, 1 como limito superior não atingido; por mai« 

 ]tróximo que nm d('s«os números esteja do 1, pode-se sempro inter- 

 calar, entre ele e a unidade, outro número irracional, o que mostra 

 a impossibilidade do haver no conjunto um elemento maior de que 

 todos os outros. 



Semelhantemente, o limite inferior ó atingido se há no conjunto 

 iini elemento menor do que todos os outros ; nio o ó no caso con- 

 trário. 



§ 43. — Se vários conjuntos lineares (Ei), (Ea), . . . íCmu limites su- 

 periores M( , M? , . . . , é manifesto que o conjunto f Ei -f E-j -}-...), 

 formado pela sua junrão, também é limitado superiormente, e que 

 o seu limite su})erior é o maior dos números Mi, M-2 , ... . 



Rticíprocamente, se um conjunta linear (E), que admite um limite 

 superior M, so pode decompor em conjuntos parciais (Ei), (Ej), . . . , 

 todos estes conjuntos parciais sRo igualnieute limitados à direita, e 

 o limite superior de cada um deles é, (piando muito, igual a M. 



Conclusões semelhantes so tiram para os conjuntos limitados 

 inferiormente- 



§ 44. — Estendamos agora a noção de conjunto limitado aos con- 

 juntos a qualquer número de dimensões. 



Dizemos que um conjunto (E), cujos pontos são sistemas do va- 

 lores de 71 variáveis ,r, y, ... 6 limitado, quando são limitados, 

 cada um de per si, os conjuntos dos valores de todas essas variáveis. 



Se os valores do x estão compreendidos entre a e b, o \x\ nílo 

 pode exceder o maior dos dois números \a\ e |&|, que designare- 

 mos por v}i. 



Do mesmo modo, se os valores de ;/ estão compreendidos entre 

 <i' e b', o \i/\ não pode exceder o maior dos números \a'\ e. \b'\, 

 que designaremos por y)2. 



E assim para as outras variáveis. 



Então, se fôr v) o maior dos números t,í, 'm, • . . , os módu- 

 los dos valores de todas as variá\'eis, considerados conjuntamente, 

 têm por limite sni)erior comum o número y). 



Podemos então dizer mais comodamente que um conjunto (E) 

 do pontos p {x, //, . . .) é limitado quando o conjunto dos núme- 

 ros \x\ y \y\ , ... 6 limitado superiormente. 



Do mesmo modo, so m d o menor dos números a, a', ... e M 

 o mai<3r dos númoros b, b', ... tambóru se pode dizer que o con- 

 junto O limitado quando os valores de cada uma das variáveis estào 

 compreendidos entre dois números finitos m c M, 



E evidente que os conjantos limitados estão no caso do | 34 « 

 admitem por isso noeossàriamcnto pontos limites. 



§ 45. — Vamos fazer uma prlm;'ira aplicação do conceito de con- 

 junto limitado ao probleuia da derivação sucessiva. 



