MATEMÁTICAS, JFÍSICAS E NATURAIS 111 



Quando o derivado fE') ou (E*), dum conjunto limitado (E) tam- 

 bém tem um derivado (E-), este diz-se o derivado de segunda ordem 

 de (E). Do mesmo modo, se (E^) ainda tem derivado, este é o de- 

 rivado de terceira ordem de (E); e assim sucessivamente. 



E claro que todos estes derivados são igualmente limitados. 



Se (E) ó perfeito, (EM coincide com (E), (E-) coincide com (E*), 

 e assim segiàida o indefinidamente. Pode dizor-se neste caso que há 

 conjuntos derivados de todas as ordens e que existe um conjunto 

 perfeito constituído pelos pontos comuns a todos eles. E todos estes 

 conjuntos, em número infinito, coincidem com o proposto. 



Se (E) não é perfeito, (E^) pode ter pontos que não pertencem 

 a (E) ; é o que sucede, por exemplo, se (E) é concentrado. Mas como 

 (E^ é fechado, e o mesmo acontece a todos os derivados subse- 

 quentes^ qualquer dos conjuntos (E*), (E'^), (E"'), . . . contém todos 

 os seguintes, de sorte que as derivações de ordem superior à pri- 

 meira tôm geralmente por efeito suprimir pontos. 



Quando se forma a sucessão dos derivados dum conjunto limi- 

 tado dois casos podem dar- se: 



— Ou existo um número n tal que o derivado da ordem n tem 

 um número finito de pontos, e já não admite, portanto, derivado, 

 parando nele a sucessão (caso em que o conjunto (E) se diz reduc- 

 tívei) ; 



— Ou, qualquer que seja n, o conjunto derivado de ordem n 

 •contém sempre um número infinito de pontos. Cantor demonstrou 

 que neste caso existe sempre um conjunto (E") de pontos comuns 

 a todos os derivados, e que esse conjunto é fechado. 



O princípio é evidente, se (E) ou algum dos seus derivados for 

 um conjunto perfeito. Abstraindo deste caso particular, vamos então 

 supor que os conjuntos deri\ados são simplesmente fechados. Nesta 

 hipótese (FJ) compreende (E-j, como (E-) compreende (E*^), como 

 (E^) compreende (E'*), e assim sucessivamente. Tomemos então um 

 ponto úi de (E*j, que não portença a (E^) ; um ponto aa de (E^) que 

 não pertença a (E^); um ponto «3 de (E^) que não pertença a (E*); 

 e assim sucessivamente. Os pontos 



(20) ai , a% , a3 , ... 



admitem um ponto limite a (§ 34), e este ponto é comum a todos 

 os (EO, porque pertencendo todos os pontos (20) a (E^ o ponto a 

 pertence a (E^); pprtencendo todos os pontos (20), com excepção 

 de «1, ao conjunto íE"^), a pertence a (E^), pertencendo todos os 

 pontos (20), com excepção de cri, e í/2, ao conjunto (E^), a per- 

 tence a (E'') ; dum modo geral, pertencendo os pontos de (20j 



Cfi ) ^í -j- 1 j í^i -|- 2 j • • • 



-a (E*), a pertence necessariamente a (E'" + ^); isto é. o ponto a per- 

 tence a todos os conjuntos derivados. E como podemos formar infi- 



