112 JORNAL DE SCIÊNCIAS 



nitas sucossõos (20), podemos obter infinitos pontos a, constituindo 

 o conjunto (E*'*) dos pontos comuns a todos os derivados. 



Soja agora a! um ponto limito de (E"'). Dado um número 5 tam 

 pequeno quanto se (jueira, existem i-m (E"'j pontos a para os quais 

 se tom 



(21) ^ < T • 



Por outro lado, na sucessão (20), que tem por limite a, há um 

 elemento a„ para o qual se dá a condição 



(22) a„«< — , 



que se verifica, por maioria de razão, para os elementos seguintes 

 On + i» ««-j-2 •••• Das desigualdades (21) e {'^'Í) couclui-se, como 

 no § 35, que o ponto a' pertence a (E"*). Este é, portanto, um con- 

 junto fechado, q. e. d- 

 Nada impede que se continui a dorivaçào além do infinito for- 

 mando o derivado (E" + i) de (E"), o derivado (E"^- -) de (E^i-^), e 

 assim de camada em camada; nem que se formo o conjunto (E'*^) 

 dos pontos comuns a todos os derivados de (E") e se proceda com 

 (E" ) como se procedeu com (E"); e assim sucessivamente. E foi 

 ató dosta maneira que Cantor chegou a uma primeira noção de nú- 

 meros transfinitos. 



§ 4(). — Faremos uma outra aplicação do conceito de conjunto 

 limitado à definição de certos elementos <jue desempenham um pa- 

 pel importante nesta teoria. 



a) Consideremos um conjunto limitado (E) a qualquer número 

 de dimensões, e formomos o conjunto (Ei) cujos elementos são os 

 des ios mútuos dos pontos de (E) tomados dois a dois de todas as 

 maneiras possíveis. S(Mido jj (a, b, . . .) q p' (a', b', . . .) dois pon- 

 tos qnais(|uer de (E) e y5 o limite superior dos módulos de todas as 

 variáveis x, y, . . . , temos 



/Tp"' = i a' ~ a j -f I í/' — ò 1 -f . . . 

 ou 



;77<|a'|-f jal + 1 J'|-{-|è| + ... 



ou finalmente 



/y<2;r/;. 



O conjunto (Ei) é, pois, limitado superiormente. O sou limite 

 superior é por definição o diâmetro do conjunto (E>. 



