MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 113 



Diáiiiotro dum t-on junto limitado c, pois, o limito superior do 

 conjunto formado pelos desvios mútuos dos seus pontos tomados 

 dois a dois de todas as maneiras possíveis. 



b) Seja p um ponto definido por um sistema de n números o (E) 

 um conjunto no mesjno espaço a n dimensões. Os desvios de p aos 

 diferentes pontos do (E) formam um conjunto de números não ne- 

 gativos, que por isso mesmo é limitado inferiormente (f 40). O seu 

 limite inferior 6, por definição, o desvio do ponto p em relação ao 

 conjunto (E;. 



c) Do mesmo modo, dados dois conjuntos (E) e (Ei) formados 

 por pontos du mesma natureza, e tendo, portanto, o mesmo número 

 de dimensões, os desvios de cada um dos pontos de (E) a todos os 

 pontos do (El) (ou vico-versa) formam outro conjunto de números 

 não negativos, tendo, portanto, um limite inferior. Esse limite é, 

 por definição, o desvio dos dois conjuntos. Quando este desvio não 

 é jmio diz-se que os conjuntos estão separados. 



§ 47. — A propósito do desvio de dois conjuntos demonstrare- 

 mos o seguinte teorema: 



Se dois conjuntos limitados e fechados (E) e (Ei ), sem j^ontos co- 

 muns, têm um desvio A, há pelo menos um ponto de (E) e um ponto 

 de (El), cujo desvio é jjrecisamente ifjual a A. 



Sejam, com efeito, píx , y , . . . ) os pontos de (E), epi {xi , ?/i , . . .) 

 os pontos de (Ei). Associemo-los dois a dois de todas as maneiras 

 possíveis, do maneira a formar novos pontos [pp>i'\ [x , y , ..., 

 Xi, yi, . . . ). 



Sendo (E) e (Ei) limitados, o conjunto (EEi) 4os pontos [p2')i'\ ó 

 igualmente limitado. Os módulos das 2n variáveis x, y, ... , xi, yi,. ,. , 

 que os definem, tôm, com efeito, ura limite superior, que é o maior 

 dos dois que correspondem separadamente aos módulos das n variá- 

 veis X , y , . . . , e das n variáveis Xi , yi .... 



Sendo (E) e (Ei) fechados, o conjunto (EEj) é igualmente 

 fechado. Na verdade, se [x iri] («, 6, - - -, ai , bi, ...) é um 

 ponto limite de (P]Ei), os pontos t: (a , b , . . .) e tzí {a^ , bi , . . .) 

 são pontos limites de (E) e (Ei); pertencem, portanto, a estes con- 

 juntos, donde se segue que o ponto [r: -ki] pertence a (EEi). 



Posto isto, se não há em (E) um ponto p e em (Ei) um ponto 791 

 tais que o seu desvio seja A, bá-de haver, em todo o caso, pelo 

 menos, um ponto j^' de (E) e um ponto ^;'i de (Ei) tais que o seu. 

 desvio seja menor que A-f-e, sendo s um núm ero po sitivo tam 

 pequeno quanto se queira (§ 40). Seja d' o desvio^' p'i. 



Tomemos um número positivo e, inferior ao menor dos dois 



números d' q ^ Há-de haver igualmente um ponto p" de (E) e um 



ponto p"í de (Ei), cujo desvio seja inferior aA-j-ci. Seja d" esse 

 desvio. 



Podemos da mesma maneira obter outros dois pontos />'" e p"'i, 

 um de (E), outro de (Eij, cujo desvio seja inferior ao menor dos 



