114 JORNAL DE SCIÊNCIAS 



dois uÚQioros á" o — - ; o assim indefinidumonto. Obteremos deste 



modo uma succssUo ilimitada de pares de pontos ^.»', ^9'i ; />'', p"i ; 

 p"\ p"'i ; • • • 1 CUJOS desvias mútuos coaviM"í:jem para A. Os pon- 

 tos [/>' p'i], ip" p"{], • • • do conjunto limitado (EEi), sondo em 

 namoro infinito, admitem um ponto limite [p p\], o como os pon- 

 tos [/;'"' i>i ], que tendem para ôsse limite, correspondem a pares 

 de pontos /j'") e ;;["' , cujos desvios convergem para A, os pontos 

 p e />( têm exactamente o desvio A. Mas, como o conjunto (EEi) é 

 fechado, o ponto [ppi\ perte;>ce a (EEi) e, portanto, os pontoa 

 p Q p\ pertencem, respectivamente, a (E) e (Ei). Então o teorema 

 é verdadeiro. 



E claro que A nlo pode ser nulo, aliás os pontos p tí pi con- 

 fundir-se-iam, e os conjuntos (E) e (Ei) teriam um ponto comum, o 

 que ó contra a liipótes<3. 



§ 48. — Temos considerado até aqui os pontos limites em geral, 

 sem distinguirmos aipieles a que Lindelot' deu o nome especial de 

 pontos de condensação (§ 28). Vamos agora estabelecer algumas 

 propriedades que interessam espccialmento a essa classe particular 

 de pontos limites. 



Costuma-se demonstrar, de camada em camada, que todo o 

 conjunto nílo numerável, limitado ou nílo, admite, pelo menos, um 

 ponto de condensação; que os pontos de condensação dum conjunto 

 nílo numerável formam um conjunto perfeito; e que todo o con- 

 junto fechado pode sempre decompor se num conjunto numerável 

 e num conjunto perfeito (teorema de Cantor-Bendixon). Mas as 

 demonstrações que se me tôm deparado supõem, gratuitamente, a 

 qualidade do numeráveis em conjuntos quo muitas vezes podem 

 compreender somente um número finito de elementos. Por outro 

 lado, o próprio enunciado do teorema de Cantor-Bendixon nílo pode 

 cousidorar-se como absolutamente verdadeiro sem umas certas res- 

 trições mentais. Assim, por exemplo, o conjunto íechado 



O i- i- -- ... - ... 



nílo pode deeompor-se num conjunto perfeito o num conjunto nume- 

 rável; decompõo-so, sim, mas é no conjunto finito constituído pelo 

 ponto O, que é o seu derivado, e no coiíjunto numerável formado 

 pelos elementos restantes. Por outro lado, é evidente que se pode 

 formar um conjunto fechado juntando a um conjunto perfeito qual- 

 quer número finito de pontos isolados. Entílo, no enunciado daquele 

 teorema tem de subentender-se que o conjunto fechado, de que se 

 fala. náo é numerável, e que na designaçílo do conjunto numerável 

 se compreende como caso particular o conjunto linito. 



