MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 115 



Estas considerações sugeriram-me a conveniência de enunciar o 

 teorema de Cantor-Bendixon duma forma mais precisa, e de modi- 

 ficar, eial)ora ligoirauiontOj as demonstrações habituais. Vou então 

 ocupar-nie dos princípios, a que me reporto, pela maneira, que por 

 melhor se me oferece, começando por apresentar no parágrafo 

 segumte um lema que muito facilitará a exposição. 



§ 49. — Um conjunto (Fj), formado pela reunião duma infinidade 

 numerável de conjuntos (Eii, (E2), . . . , (E ), . . . , finitos ou nu- 

 meráveis, é numerável. 



Com efeito, importando considerar todos os casos possíveis, 

 podemos começar por estabelecer que estes silo : 



Ou os conjuntos (E,i) são todos numeráveis; 



Ou são todos finitos ; 



Ou há um número finito de conjuntos finitos e uma infinidade 

 de conjuntos numeráveis; 



Ou há um número finito de conjuntos numeráveis e uma infini-, 

 dade de conjuntos finitos; 



Ou, fiiuilmeníe, liá uma infinidade de' conjuntos finitos e uma 

 infinidade de conjuntos numeráveis. 



Se os conjuntos (E„) são todos numeráveis, o conjunto (E) é 

 numerável, como se demonstrou no § 11. 



So são todos finitos, podemos dispor seguidamente, numa ordem 

 convencionada, primeiro os elementos de (Ei), depois os de (E^), de- 

 pois os de (E3), e assim seguidamente. Chega-se à mesma conclusão. 



Se há um número finito de conjuntos finiios e um número infi- 

 nito de conjuntos numeráveis, a reunião destes últimos forma ainda 

 um conjunto numerável (N) (§ 11), visto que, podendo-se sempre 

 dispô-los pela ordem da grandeza crescente dos seus índices, essa 

 infinidade de conjuntos é numerável (§ 6). Por outro lado, a reu- 

 nião dos conjuntos finitos forma, evidentemente, um conjunto 

 finito (F). E, finalmente, a junção dos conjuntos (N) e {¥) dá ainda 

 um conjunto numerável (§7). 



Sb há um número finito de conjuntos numeráveis e um número 

 infinito de conjuntos finitos, a reunião destes últimos, como se 

 acaba de ver, dá lugar a um conjunto numerável; e a junção deste 

 conjunto aos restantes conjuntos numeráveis (E„), que são em 

 número finito, dá ainda um conjunto numerável (§ 8). 



Finalmente, se há uma infinidade de conjuntos finitos e uma 

 infinidade de conjuntos numeráveis, a reiinião dos primeiros deter- 

 mina um conjunto numerável (N), e a dos segundos, outro con- 

 junto numerável (N'), (§ 11); e a junção de (N) e (N') dá, mais 

 uma vez, um conjunto numerável (§ 8). 



Então o lema enunciado é verdadeiro em todas as hipóteses (*). 



(*) Reconhecida a necessidade, que procuro evidenciar, de se atender aos 

 conjuntos finitos, o princípio do § LI pode logo estabelecer-se com esta forma 



