116 JORNAL DE SCIÊNCUS 



§ 50. — Posto isto, vamos demonstrar quo todo o conjunto não 

 numerável, limitado ou não, admite, pelo menos, um ponto de con- 

 densação. 



Mostraremos primeiramente que podemos considerar apenas 

 coiíj untos limitados, pois, embora o conjunto dado níto o seja, as 

 cousas passam-se como se o fosse. 



Digo, com efeito, que é sempre possível achar um número R 

 suficientemente grande para quo o conjunto dos infinitos iiontos do 

 conjunto dado, cujos desvios, em relagílo a qualquer ponto fixo V 

 do mesmo conjunto, são inferiores a II, seja não numerável. 



Se assim não fosse, poderíamos considerar uma sucessão de 

 números indefinidamente crescentes 



Ri , Ra , R:í , • • • , R» , • • • 



o seriam liiiitos ou numeráveis: 



1.° O conjunto dos pontos cujos desvios em relação a P são meno- 

 res do que Ri ; 

 2.° O conjunto dos pontos cujos desvios em relação a P são iguais 



ou maiores do que Ri o menores do que Ra ; 

 3.° O conjunto dos pontos cujos desvios em relação a P são iguais 



ou maiores do que Ri e menores do que Rs ; 

 e assim sucessivamente. 



O conjunto proposto, constituído por uma infinidade numerável 

 de conjuntos finitos ou numeráveis, seria, portanto, numerável 

 (§ 49), o que é contra a hipótese. 



Então, por as cousas se passarem, em todos os casos, como se 

 o conjunto fosse limitado, ou, o que ó o mesmo, como Ole contém 

 uma infinidade não numerável de pontos num espaço limitado, 

 podemos estabelecer o ])rincípio pela. mesma forma por que no 

 § 34 demonstrámos o teorema de Bolzano-Weierstrass. Xeste caso. 

 quando dividirmos o intervalo entre os limites, superior e inferior, 

 das variáveis, em n partes iguais, o formarmos os ??'■ conjuntos 

 parciais, associando de todas as maneiras possíveis os intervalos 

 que respeitam aos valores de todas as variáveis, um desses conjun- 

 tos, pelo menos, há-de conter uma infiuidade não numerável de 

 pontos, pois quo, se todos Cios contivessem pontos om número 

 finito ou numa infinidade numerável, o conjunto formado })cla sua 

 junção seria finito ou numerável, o que é contra a hipótese. E como 

 os pontos 7>i , p-2, ])3, '•• , neste caso, formam uma sucessão 

 numerável qualquer, extraída duma infinidade não numerável de 

 pontos do conjunto dado, o seu ponto limito 6, como se pretendia 

 provar, um ponto de condensação. 



mais geral. E convém empregar, por ser o mais simples, o processo de demons- 

 tração «Irsse mesmo § 11, cuja aplicabilidaile se reconhece atendendo à obser- 

 vação final do § 9 e à circunstância de os elementos dos conjuntos finitos se 

 poilerem numerar. 



