MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 117 



§ 51. — Os pontos de condensação dum conjunto não numerável 

 formam um conjunto 2^er feito. 



Seja (E) o conjunto dado e (K) o dos soiis pontos do condensa- 

 ^^ão. 



E nocessário provar que o conjunto (K) ó fechado e não tem pon- 

 tos isolados. 



Rpconliocemos qno ó fechado notando que, sendo rJ um ponto 

 limito do (K), há cm (K) pontos -, cujos desvios om relação a rJ 



sao inferiores a número positivo dado — , por menor que soja d ; 



e, sondo qualquer desses pontos -nr um ponto de condensação do (E), 

 h'\ em (E) pontos/?, formando uma sucessão Jião numerável, cujos 



desvios em relação a n são também inferiores a — - . Então, pro- 



cedendo como no § 35, reconhece-so q;ue é 



2)7:' <^ o 



donde se depreendo que 77' é um ponto de condensação de (E) o 

 pertence, conscguintemento, a (K). 



Para provarmos que (K) não tem pontos isolados, admitamos, 

 por absurdo, que o seja um dos seus j)ontos w. Dada uma sucessão 

 indefinida de números decrescentes 



dl , dl , dff , . • • , dn • • • , 



tendo zero como limite, e sendo di escolhido por forma que não 

 haja nenhum outro ponto de (K ) cujo desvio em rcdação a o< seja 

 menor do que di, poderemos decompor o conjunto dos pontos do 

 (E), cujo desvio em relação a o) seja menor do que rfi , numa infi- 

 nidade numerável de conjuntos finitos ou numeráveis, o primeiro 

 formado pelos pontos cujo desvio em relação a w seja <i di e > c?^; 

 o segundo, por aqueles cujo desvio em relação ao mesmo ponto 

 seja <Z.di Q ^ di\ e assim seguidamente. Então o conjunto desses 

 pontos de (E) será numerável ( | 49j e o ponto m não poderá ser de 

 condensação, contra a hipótese. 



E claro que os conjuntos parciais, a que nos reportamos, são 

 necessi''riamente finitos ou numeráveis, por nas visinhanças consi- 

 deradas do ponto oj não haver por hipótese nenhum outro ponto do 

 condonsação. 



teorema enunciado é, portanto, verdadeiro. 



1 52. — O princípio do parágrafo anterior permite demons- 

 trar o teorema de Cantor-Bendixon, a que darei o seguinte enun- 

 ciado : 



Todo o conjunto fechado, não numerável, pode sempre decompor- 

 ■se num conjunto perfeito e num conjunto finito ou numerável. 



