MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 119 



por exemplo, em dois, (Ei) e (Eâ), de desvio A, seria impossível 

 reunir os pontos p q q por uma cadeia de pontos intermédios per- 

 tencentes ao conjunto, logo que um desses pontos se tomasse em 

 (El) e o outro em (E2), e que o desvio entre os vértices sucessivos 

 da cadeia losse inferior a z\; isto é, o conjunto não seria conexo. 

 Um conjunto formado pela reilniao dum número qualquer de 

 conjuntos conexos, e tais que cada um deles tenha, polo menos, 

 um ponto de comum com o precedente, é iguabnente conexo ; de 

 facto, utilizando esses pojitos comuns para vértices da cadeia, ó 

 sempre possível ligar entre si dois pontos quaisquer do conjunto 

 resultante por uma cadeia de pontos do mesmo conjunto nas condi- 

 ções da definição. 



§ 54. — Um conjunto conexo (E) a uma só dimensão, que contém 

 dois números dados a e b, contém qualquer número c compreendido 

 entre eles. 



Com efeito, intercalemos entro a e b uma cadeia de pontos, per- 

 tencentes a (E), tais que o desvio de cada dois consecutivos seja 

 inferior a um número dado ò. Se c é algum dos vértices dessa ca- 

 deia verifica-se o teorema ; se não é, c fica necessariamente com- 

 preendido entre dois vértices sucessivos dela, que designaremos 

 por ai e bi. 



Intercalemos depois entre ai e bi outra cadeia de pontos de (E) 



tais que o desvio de cada dois consecutivos soja inferior a -^ . Se 



c é algum dos vértices dessa nova cadeia, verifica-se o teorema; se 

 não ó, está necessariamente compreendido entre dois vértices suces- 

 sivos dela, que designaremos por 02 o Ò2. 



Intercalemos depois entre a^ e 62 outra cadeia de pontos em 



que o desvio de dois consecutivos seja inferior a — ; e assim su- 



cessivamente. 



Se c nunca coincidir com algum vértice das cadeias que deste 

 modo se vão formando [caso em que pertení^eria a (E)], obtere- 

 mos duas sucessões de pontos a, ai, a^, ■ • ■ , b , bi , b^, ... , 

 que terão ambas c como ponto limite, c é então um ponto limite 

 de (E), e pertencer-lhe há necessariamente, visto (E) ser per- 

 feito ; q. e. d. 



Daqui resulta que, se o conjunto conexo (E) é limitado à 

 direita e à esquerda, constituem-no todos os números reais com- 

 preendidos, no sentido lato, entre o seu máximo M e o seu mí- 

 nimo m. 



Se é limitado só à direita, formam-no os números <M; se é 

 limitado só à esquerda, os números ^ m. 



Se não é limitado, ó constituído por todos os números reais. 



