120 JORNAL DE SCIÉNCIAS 



Da potência dos conjuntos de pontos 



§ 55. — Para tratar da potcMicia dos coTijuiitus do pontos, for- 

 mados dania infinidade do olcniontos, começarei por apresentar 

 alguns lomas, devidos, segundo creio, a Cantor, quo muito facilita- 

 rão a exposirílo do assunto. 



Provarei em primeiro lugar que 



I — Todo o conjunto, que não tem jiontos limites, é nume- 

 rável. 



Um conjunto (E) nestas condições ó necessariamente isolado, e, 

 dado um qualquer p dos seus pontos, todos os outros pontos do 

 mesniu conjunto, cujos desvios em relaçflo a p estão compreendi- 

 dos entro dois números dados, são for(;osamento em número finito; 

 se o iiilo fossem, admitiriam um ]»onto limite (§ 34), e o conjunto 

 (E) teria, pelo menos, um ponto limite, o que é contra a hipó- 

 tese. 



Então, considerando uma sucessão de números indefinidamente 

 crescentes 



dl , d-2 , di , . . . , dn ' • ■ , 



podemos considerar primeiro os pontos do (E), em número finito, 

 cujos desvios em relação a p sào <í/i; em seguida os pontos de 

 (E), também em número finito, cujos desvios em relação a p são 

 >c?i e <Cd^2', depois, os pontos de (E), ainda em número finito, 

 cujos desvios em relação a p são > rfa e <C c?3 ; e assim sucessiva- 

 mente. O conjunto (E) fica deste modo decomposto numa infini- 

 dade numerável de conjuntos finitos, e é, ])ortanto, numerável 

 (§ 49), ^ q. e.d. 



II — lodo o conjunto, que .só tem um ponto Hmite, é numerável. 



Consideremos o conjunto (E) e o seu único ponto limite ?:. 



Designemos por (Ei) o conjunto parcial formado por todos os 

 pontos de (E) cujos desvios em relação a r. estão com])reeudidos 

 entro dois números fixos; e seja A o desvio de t: ao conjunto (Ei). 

 Esses pontos são necessariamente em número finito. De facto, se 

 o não fossem, admitiriam pelo menos um ponto limite (§ 34); Gsse 

 ponto limite seria distinto de tt, porque o seu desvio mútuo seria, 

 pelo menos, igual a A; e haveria, portanto, em (E) outro ponto 

 limite, além de tt, o que é contra a hipótese. 



Assente o facto, a demonstração completa-se como no lema 

 anterior. 



Ill — Todo o conjunto, que tem um número fnito de pontos limi- 

 tes, é numerável. 



Com efeito se o conjunto (E) tem /.• pontos limites tti . tt-í , . . . , tta, 

 podemos considerar separadamente as sucessões do pontos do (E), 

 que têm respectivamente por limites os pontos ivi , irj , . . . , -j, o 

 o conjunto (N) formado pelos pontos restantes. Cada uma daquelas 



