MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS 121 



sucessões é numerável (lema II), e o mesmo acontece ao conjunto 

 (Ni) resultante da sua junção (§ 8). Por outro lado (N), como não 

 tem nenhum ponto limite, é numerável (lema I). Então é igualmente 

 numerável o conjunto (E), que engloba os pontos do (N) e (Ni) 

 (§ 8), ' ' ^ q- e. d. 



É óbvio que este lema abrange o anterior como caso particular. 



IV — Todo o conjunto, cujo derivado é numerável, é numerável. 



A demonstração ó a mesma do lema III, com a diferença do 

 o conjunto (Ni) ser formado, não por um número finito, mas por uma 

 infinidade numerável de conjuntos numeráveis. 



V — O derivado dum. conjunto isolado não tem 2)ontox limites, 



O princípio é evidente se o derivado é um conjunto finito {§ 29). 

 Suponhamos então que o não ó. 



Seja (E) um conjunto isolado a n dimensões, e admitamos, por 

 absurdo, que o seu derivado (E') tem um ponto limite t:' . Haverá 

 então em (E') pontos nri , ■rrâ , . . . , tt^ , . • • , que tendem para u', 

 e será sempre possível achar nessa sucessão dois pontos w (a, (3, . . .) 

 e «1 («1, |3i , ...), suficientemente próximos de tu' para que o seu 

 desvio mútuo seja menor do que qualquer número positivo dado. 

 Faremos então 



« «1 < Y' 



sendo ò um número positivo tam pequeno quanto se queira. 



Por outro lado, sendo m e &3i pontos limites de (Ej, há de haver 

 em (E) duas sucessões de pontos 



/ // (») 



-./ ..// 



)/ u" ... P 



1 ' 



que tendam respectivamente para &) e wi , e portanto será sem- 

 pre possível achar nessas sucessões pontos /»<'■) {xk, yu, • • • ?) 

 e pf{xi, l/l, ' • • ,) tais que se tenha 



Ora 



(23) 



y «<Y e FiWi<--. 



~W) in I III I I 



p Pi = I ^'í— <^, I + I I/l—!/,: ! + • • • ; 



CO 0)^ = I a^ ~ a I -f- I (3^ — [3 I + . . . ; 

 i^"'w= I ^ — a?, I + I (3 — y, I + . . . ; 

 P?o)i = I «1— '-^'í I -r I Pi — J/ J + • • • • 



