MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATURAIS , 123 



efectivos das variáveis pelos correspondentes números irracionais 

 do intervalo (O, 1). 



Podemos, por consequência, limitar-nos a considerar um con- 

 junto (E), cujos pontos são definidos por coordenadas irracionais 

 compreendidas entre O o 1. Como vimos nos §§ 20 e 21 pode-so 

 fazer corresponder a cada um desses pontos um número irracional 

 do mesmo intervalo; e reciprocamente. Seja (J) o conjunto desses 

 números irracionais, que tem a mesma potência que (E). 



Posto isto, suponhamos agora quo o conjunto (E) é perfeito, 

 e que estamos no caso do § 20. Cada um dos pontos de (E) 



é limite duma sucess<ão de pontos do mesmo conjunto 



/ i i i \ 



Pi (^1 ' '^2 ' • • • ' ^« ) 



de sorte que, sendo 



ll- + _il- + ... (7^ = 1, 2,...,. o 

 I «/. I ^, 



-1J_ + J-L +... {k = í,2,...,n) 



ai \ l^ 



a, = lim CL 



h /: 



b, = l/m b] 



h k 



Então, quando no intervalo (O, 1) determinarmos, pelo processo 

 do § 20, o ponto tc' que corresponde a ?:, e os pontos jx que cor- 

 respondem a Pi, reconheceremos que ti' é o ponto limite da suces- 

 são dos pontos p^ . De modo que, se todos os pontos do (E) são 

 pontos limites, e não há outros, todos os pontos de (J) são igual- 

 mente pontos limites, e eles só. Quere dizer, de ser perfeito o con- 

 junto (E) resulta que o conjunto linear (J), que tem a mesma potên- 

 cia do que êle, ó igualmente perfeito. 



Por igual forma raciocinaríamos se estivéssemos no caso do- 

 §21. 



Vê-se, pois, que, para determinar a potência de todo e qualquer 

 conjunto perfeito, basta considerar os conjuntos perfeitos a uma só 

 dimensão, limitados. E então destes que vou ocupar-me, supondo-os, 

 para maior generalidade, contidos num intervalo (a, b), que pode 

 ser diferente do intervalo (O, 1). 



