124 JORNAL DE SCIKXCIAS 



§ 58. — Estudemos, primeiro quo tudo, a estrutura dos conjun- 

 tos perfeitos lineares. O caso mais simples é o do conjunto conter 

 todos os pontos dum intervalo, ou dum número finito do intervalos 

 compreendidos entre dois números dados. Neste caso a sua potên- 

 cia é a potência do contínuo. 



Se outra ó a estrutura do conjunto perloito (E) contido num 

 intervalo (a, bj, seja y; um ponto dôsso intervalo quo nfto pertenço 

 a (E). Êsso ponto divide o conjunto i Kj noutros dois: o conjunto 

 Eli, formado pelos pontos (pie ficam à os(pierda de p , o o con- 

 unto (E-j) constituído pelos pontos quo ficam à sua direita. Ambos 

 estes conjuntos sa,o perfeitos. Com efeito, qualquer dOles só tom 

 pontos limites e devo conter todos os seus pontos limites, pois que 

 entre um o outro fica o ponto /? , que nílo só nilo pertence a (Ei, 

 como também njlo pode ser nenhum dos pontos limites de (Ei. O con- 

 junto (Kl) tom por limite superior um ponto M, o o conjunto (E^i 

 tom por limite inferior um ponto N, o ôsses limites, ambos atingi- 

 dos, pertencem necessariamente a (E). Entilo, nem M nem N coin- 

 cidem com 2h ficando assim este ponto dentro dum intervalo MN, 

 do (piai só as extremidades pertencem a ( E). O Sr. Bairo deu o nomo 

 de intervalos contíguos ao con junto (E) a estes intervalos M N, que 

 vimos de definir. 



Todo e qualquer ponto do intervalo (a, b], que nào pertence a 

 (E), ó, portanto, interior a um intervalo contíguo, sendo a palavra 

 interior tomada no sou sentido próprio, que exclui os limites do 

 intervalo. 



Posto isto, o conjunto dos intervalos contíguos ao conjunto (E), 

 se niío é finito é necessariamente numerável, pois como a soma de 

 todas as suas amplitudes nâo pode exceder a do intervalo {a, b), são 

 sempre em número l'mitado aqueles cujas amplitudes excedera um 

 número dado (5. Podemos assim numerar primeiramente aqueles in- 

 tervalos cuja amplitude excede o; depois aqueles cujas amplitudes 



são iguais ou menores (juc ò e maiores que---; depois aípioles 



cujas amplitudes silo iguais ou menores quo e maiores quo -.; ' 



e assim sucessivamente. O (pie prova o »[ue afirmamos. 



Assim, considerando os conjuntos finitos incluídos nos conjuntos 

 numeráveis como caso particular, podemos enunciar o seguinte teo- 

 rema devido a Cantor: 



Um conjunto perfeito linear pode ohter-se suprimindo do intervalo 

 (jue o contê/ii todos os j)Oiitos interiores a um conjunto niuneràvel de 

 intervalos sem pontos comuns, e até sem e,Hremos comuns. 



A razão por (|ue se acrescenta — e até sem e.itremos comuns — 

 é porque, se dois intervalos contíguos tivessem um extremo comum, 

 esse extremo comum seria um ponto isolado de (E), e (E) nflo tem 

 pontos isolados por ser perfeito. 



lle(;íprocamente, se suprimirmos dum intervalo (a, b) todos os 

 pontos interiores a uma iiijinidade numerável de intervalos sem pon- 



