MATEMÁTICAS, FÍSICAS E NATUEAIS 125 



tos comuns, nem extremos comuns, o conjunto restante (E) será per- 

 feito. 



Em primeiro lugar, desta supressão resulta sempre um conjunto 

 (E), pois que os extremos dos intervalos n?lo sao suprimidos. 



Em segando lugar, esse conjunto (E) ó fechado, pois que todo 

 o ponto de {a, h), que não lho pertence, é um ponto do interior dum 

 intervalo contíguo, o não podo por isso ser ponto limite de (E). 



Finalmente, no conjunto (E) não pode haver pontos isolados, 

 visto que, se existissem, seriam os extremos comuns de dois inter- 

 valos contíguos, o estes, por hipótese, não têm extremos comuns. 



Logo o conjunto (E), sendo fechado e sem pontos isolados, é per- 

 f*3Íto, q. e. d, 



§ 59. — Pelo processo das supressões, que acabo de indicar, é 

 possível construir conjuntos perfeitos que não são densos em inter- 

 valo algum. Limitar-me-hoi a apresentar o exemplo mais simpleâ. 

 É o conjunto das frações decimais, limitadas ou não, que se escre- 

 vem só com os algarismos O e 1. E fácil de ver que este conjunto 

 é perfeito, mas não é denso em nenhum intervalo. 



Com efeito, dado um elemento qualquer deste conjunto, pode 

 obter-se uma infinidade doutros cujos desvios em relação ao pri- 

 meiro sejam tam pequenos quanto se queira, o que quere dizer que 

 todos os pontos do conjunto são pontos limites. (Por exemplo, se 

 o elemento dado é 0,0101, há no conjunto uma infinidade de pontos 

 cujos desvios em relação ao primeiro não excedem, suponhamos^ 

 0,0001; ou sejam 0,01011, 0,010101, 0,0101011, 0,0101001, etc.) 



Por outro lado, nenhuma outra fracção decimal do mesmo inter- 

 valo (0,1) pode ser ponto limite do conjunto dado, pois fica^ com- 

 preendida necessariamente entre dois elementos do mesmo conjunto 

 do que difere de grandezas finitas. (Assim, por exemplo, 0,023 está 

 compreendido entre 0,1 e 0,0111111111 . . . e sendo 0,1 — 0,023 = 

 = 0,073 e 0,023 — 0,011111111 = 0,01188838..., vê-se que não 

 há no conjunto dado nenhum elemento cujo defívio em relação a 

 0,023 seja inferior a 0,01). 



Estabelecidos estes dois factos, é evidente que o conjunto dado 

 é perfeito. 



Entretanto o mesmo conjunto não é denso em intervalo algum, 

 pois há em qualquer intervalo fracções que se escrevem com alga- 

 rismos diferentes de O e 1, e que pertencem, conseguintemente, a 

 intervalos contíguos ao mesmo conjunto. Por exemplo, a frac- 

 ção 0,006 pertence a um intervalo contíguo, cujos extremos são 

 0,01 e 0,0011111 . . . . E é claro que, entre os pontos do con- 

 junto, que são extremos de intervalos contíguos, não se pode inter- 

 calar nenhum outro elemento do mesmo conjunto, por isso que não 

 existe nenhum no interior desses intervalos. 



§ 60. — Todos os conjuntos perfeitos lineares não densos são se- 

 melhantes. 



