126 JORNAL DE SCIÉNCIAS 



Sejam, com eleito, (E) e fE') dois conjuntos perfeitos lineares 

 não densos, o primeiro comj)rei,'ndido num intervalo (a, t>) e o 

 segundo num intervalo (a! , b'). Vamos reconhecer que ó possível 

 aplicá-los um sobre o outro (§ 20), de maneira a conservar-se a 

 ordem de grandeza entre os elementos correspondentes. Para isso 

 faremos corresponder os intervalos ò, contíguos a (^E), aos interva- 

 los ò' contíguos a (E'), do maneira que os (jue se correspondam 

 fiquem dispostos na mesma ordem nos dois segmentos (a, h) 

 e [a! , b'). 



Comecemos por fazer corresponder o maior intervalo ò^ de (E) 

 ao maior intervalo ò^ do (E'); dei)0is os maiores intervalos com- 

 preendidos entre a e íi , que designaremos por ò^ , e ejitre $i a b, 

 que designaremos por òi, respectivamente, aos maiores intervalos 

 compreendidos entre a' e ô^ , que chamaremos ò,^ , e entre 3^ e b', 

 que chamaremos $^ . Continuemos assim indefinidamente a tomar 

 em cada um dos conjuntos dados o maior intervalo que houver 

 entro dois já considerados, e a fazer corresponder entre si os que 

 caibam a intervalos que já forem correspondentes; por este pro- 

 cesso todos os intervalos dum e doutro se nos irão deparando, e 

 poderemos dispõ-los na mesma ordem. , 



O conjunto (E'; fica assim aplicado sobre o conjunto (E), por- 

 que os extremos dos intervalos se correspondem uniformemente na 

 mesma ordem, e, com eles, todos os pontos limites, únicos que exis- 

 tem, visto os conjuntos serem perfeitos. 



O princípio enunciado é, portanto, verdadeiro. 



E conveniente notar que, na aplicação dum conjunto sobre o 

 outro, se conservam os pontos limites. 



§ 61. — Nâo é possível fazer uma aplicação rigorosa dum con- 

 junto (E), perfeito, linear e não denso, sobre o conjunto, com a 

 potência do contínuo, formado por todos os pontos do intervalo 

 (O, 1). Com efeito, os extremos dum intervalo contíguo a (E) sao 

 dois pontos entre os quais não há nonhum elemento de (E), em- 

 quanto que entro dois números quaisquer, pertencentes ao con- 

 junto contínuo (O, 1), pode-so sempre intercalar uma infinidade de 

 pontos do mesmo conjunto. A aplicação pode, todavia, efectuar-se, 

 se convencionarmos que os dois extremos dum mesmo intervalo 

 contíguo a (E) correspondem a um ponto único do intervalo (O, 1). 



Para o demonstrarmos, basta-nos considerar um conjunto parti- 

 cular, visto todos os conjuntos perfeitos lineares nao densos serem 

 semelhantes (§ 60). 



Consideremos, então, o conjunto das fracções decimais, limita- 

 das ou não^ que se escrevem somente com os algarismos O o 1. E, 

 como vimos (§ 09), um conjunto perfeito não denso. Para realizar 

 a correspondência, ])or ordem de grandeza, com o intervalo (O, 1). 

 basta fazer corresponder cada fracção decimal à que se escreve da 



