MATEMÁTICAS FÍSICAS E NATURAIS 127 



mesma maneira no sistema de numeração de base 2. Cada número 

 do intervalo (O, 1) obtém-se deste modo uma só vez, excepto os 

 números racionais cujo denominador é potência exacta de 2. Para 

 estes há duas expressões diferentes no sistema de baso 2, uma 

 limitada, outra ilimitada. Por exemplo, a fracção um meio ó repre- 

 ■sentada no sistema de base 2 ou por O, 1, ou pela dízima ilimi- 

 tada O, 011111 .... Estas duas fracções, no sistema de base 10, 

 representam então dois elementos diferentes de (E), entre os quais 

 não pode haver nenhum outro elemento do mesmo conjunto, o que 

 são, por consequência, os extremos dum intervalo contíguo a (E). 

 Vê-se, pois, que, se abstrairmos dum dos extremos de cada um 

 dos intervalos contíguos, suprimimos do conjunto (E) uma infinidade 

 numerável de pontos (§ 58), o que não altera a sua potência (§ 14); 

 e, como abstraindo desses extremos o conjunto resultante é aplicá- 

 vel sobre o intervalo contínuo (O, 1), segue-se que o conjunto (E), 

 e, portanto, todos os conjuntos perfeitos lineares não densos, têm a 

 potência do contínuo. 



§ 62. — Resulta do exposto nos §§ 57 a 61, que, qualquer que 

 seja o número das suas dimensões, 



Todo o conjunto perfeito tem a potência do contínuo. 



c) Conjuntos fechados 



§ 63. — Um conjunto fechado (E) tem um derivado (E'), que 

 pode ser finito, numerável ou não numerável. 



Nas duas primeiras hipóteses o conjunto (E) é numerável. (Le- 

 mas III e IV). 



Na terceira, como (E') é uma parte da (E), o conjunto (E) tam- 

 bém não é numerável ; admite, conseguintemente, pontos do con- 

 densação : e pelo teorema de Cantor-Bendixon pode decompôr-se 

 num conjunto perfeito o num conjunto finito ou numerável. Mas os 

 conjuntos perfeitos t«m a potência do contínuo, e a adição a um 

 conjunto doutro, que seja finito ou numerável, não altera a sna po- 

 tência. Então, nesta hipótese-, o conjunto (E) tem a potência do con- 

 tínuo. Logo 



Todo o conjunto fechado^ ou é numerável, ou tem a potência do 

 continuo. 



d) Outros conjuntos 



§ 64. — A potência dos conjuntos concentrados ainda até hoje 

 não foi determinada, e muito menos a daqueles que tenho conside- 

 rado sob a designação de complexos. 



Embora nas três classes anteriores só encontrássemos conjuntos 

 tendo a potência do numerável ou a potência do contínuo, não repu- 

 gna admitir que haja alguma potência intermédia. Cantor pensava 

 que não havia, mas o facto é que ainda hoje não se pode dar à 



