->^.-2 ) 53 ( ^?t- 



2'. lam iflos numeros p et q per numerum n ita 

 exprimere licebit , vt fit p—a-{c(,n et 9 — ^+(3«; vbi 

 admiifis etiam numeris negatiuis pro a et b , eas infra 5« 

 deprimere liccbit, vti iam initio obfcruauimus. Tum vcro 

 erit 



Nn — aa + lfb+2fi{a(t-\-b^)-^nn(aa-\-(^^). 



Et quia in Lemmate praemifTo erat ja + ^(3~A, fiet 

 N n — a a -i~ b b --h 2 n A -\- n n { a a-\- ^ ^ ). 



3'\ Huius ergo exprelTionis primum membrum aa-\bb 

 facHiorem habeat necene e(l n , quia rcliqna membra iam 

 pcr le diuiforem n admittunt. Statuamus ergo aa-\-bb—7in'y 

 et quia a <^\n et Z> <0 , ideoque nn'<^[nn, erit vtique 

 71' <^\n. Hoc autem valore fubHituto et diuilione per tt 

 fada prodit 



N — ;2'4-2A-|-»[aa-t-|3(3). 



4". Hanc aequationem ducamus in n' et quia nn'~aa+bb, 

 poftremum membrum per Lemma praemiffum reducitur ad 



««'(aa + (3|3)=:(fl«4-Z>^j(aa + p|3)=iAA + BB, 

 ita vt nunc habeamus 



N n' — n' «' -f- 2 «' A -h A A -t- B B 

 quae expreflio manifelto eft fumma duorum quadratoninij 

 fcihcet : 



'Nn> — {n'-i-A )'-t-B\ 



5°. Quum ergo initio fuifTet produdum Nn fumma 

 duorum quadratorum , indeqire hic elicuerimus produdura 

 minus N n' ctiam aequale fummae duorum quadratorum , 

 eodem modo ad talia produda continuo minora pertingere 

 licebii, fcihcet N n\ N n''' etc. Neceflfe igitur e(l vt tan- 

 dem ad produdum minimum fcihcet N. i perueniaair, fic- 

 que ipfe numerus propofiius N quoque crit fumma duo- 

 lum qiiadratoaim, 



G 3 . Corol- 



