Sit enim tale prodiidum (aa-\-(ibb)(cicL+5(^(^'^ et 

 ca-piatu-r A — a a -\- 3 b ^ etB — a^ — ba, manifefto 

 habcbitur 



AA+3BB=(«^+3^^)(aa+3(3(3). 



Theorema III. 



5*/ "^ fuerit dhiifor numeri pp + sqq,^'^^ p et q Jint 

 mimeri primi inter fe , tum ipfe numerus N • ad eandcm for- 

 mam redud poterit. 



Demonflratio. 



Quum iterum fpedare liceat p <i'.N et_q^]N , ip<a 

 forma pp-\-5qq minor erit quam N\ Pofito cvgiy pp-\-2qq~Nn 

 fador n minor erit quam N , quae quidem lec.udio ad 

 demonftrationem non eft neceflaria : ea enim aeque pro- 

 cedet etiamfi fuerit « > N , vti (equitiir : 



i". Pofito iam p — a-]-anetq — b-^-^^n, hic 

 numcros a et b minores ftatuere licet quam - «, falrem non 

 inaiores ; tum autem erit 



Nn = aa'\-^bb-\-2n[aa-\-:ib(^)-hnJi(aa.-{':i(i^) 

 quae per Lemma praemifliim fit 



Nwzrafl+S^/^-l-swA + wwaa + sPjS). 



2°. Neceflfe igitur cft, vt primum merribrum aa-\-^bb 

 fa<n:orem habeat ;? ; quarc, pofito aa-{- zb b znnn' ., hic nn- 

 merus n' ccrte minor erit quam n , faltem non maior ; 

 tum vero fa(fla diuifione per n prodibit 



N==:«'-|-:iA-+-«(aa-l-3(3|3). 



3". Multiphcemus iam per ;;' et poftrcmum mem- 



brum 



«;;'(aa+ 3(3(3)=:(fla4-3^^)(aaf3P(3) 

 per Lemma praemifl\im fit AA4-3BB, ficquc habcbimus 



N «' =1 «'^ -t- 2 «' A 4- A A -f 3 B B , 



quae 



