->2=5^ ) 58 ( l?^*- 



pares, non folum effe parem fed etiam per quatnor diuifi- 

 bilem, neque adeo impariter parem vnquam efle poflc for- 

 mae pp-^Sqf}- Quoties ergo, vti his cafibus vfu venit, 

 numerus sN iu forma pp-\-5qg contineatur, tum N fem- 

 per erit numerus par, eiusque femifiis l N, feu pars quarta 

 ipfius sN in hac forma pp+^qq continebitur. Quoties 

 enim vterque numerus /) et ^ eft impar, lum etiam ZiJjJjj 

 femper eft numerus eiusdem formae , idque adeo in in- 

 tegris , quod quidem non tam facile perfpicitur. Pofito 

 enim p— z r-\- i et q — 2 s -{- i , prodit forma 



qnam generatim neutiquam in integris ad quadratum cum 

 triplo quadrato reducere hcet. Sequenti autem modo haec 

 refolutio in genere inftitui poterit. Obfcruo cnim om- 

 jiia quadrata imparia in hac forma (4.W-I-1)* contincri , 

 fi quidem pro m etiam numeri negatiui admfttantur ; nam- 

 que fi m fit pofitiuum, quadrata numerorum i, 5, 9, 13, 

 quorum forma eft 4/--+-! refultant ; fin autem m fit nu- 

 merus negatmus, tum quadrata numcrorum 3,7,11, i^etc, 

 quorum fbrma eft 4.7 — 1, oriuntur. lam ponamus 

 ^^ — (^.r-f-i)' et ^9 — (4J-hi)% eritque 

 tldiHJJL — I H- 2 r -j- 4 r r -h <^ J- -F - I c .f j- 



quae manifcfto ad hanc fo.mam rcdigitur: (i-j-J'+3J"jH3(^— j)*. 



Scholion. 



His Theorematlbus praemiffis id quod nobis maximc 

 eft propoiitum adgrediamur, dcmonftraturi , quod fummae 

 quatuor quadratorum nullos alios diuiforcs admittant , n fi 

 qui ipfi quoque fint fummae quatn^^r quadratorum. Ai 

 fimilitudincm aiirem praecedentium Theorematum Lemma 

 quoque pracmitti oportet. 



Lemmx 



