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Meinoire iine demonftration tres faciie, qui, quo!qu'eIIe pa- 



roKTe reftreinte aux expofans ui & n enticrs, doit pourtnnt , 



en vertu du principe de la continuitCj valoir aufll pour des 

 expofans fradionnaires quelconques. 



Cependant comme non feulement cette ferie , mais 

 aufli toutes les autres progreflions, formees d'une m.aniere 

 femblable des cocilicicns de deux puiflances difFerentes du 

 Binome, font exprimees par la quadrature de courbcs plus 

 ou moins tranfcendantes; Tauteur expofe ici une methode 

 d^exprimer les fommes des memes feries par Ja quadrature de 

 courbes algebriques, pour des expoflins fra(?:ionnaires quel- 

 conques. Les redudlions, fur lesquelles cette methode efl 

 fondee, etant trop nombreufes, pour etre fufceptibles d'ex- 

 traits, nous nous contenterons de rapporter les feries que M. 

 Euler a foumifes a fes recherches, avec rexprefTion de leurs 

 fommes. 



En mettant donc 



^ :r: I + A A-^ + B a:"- ^ 4- C Jt^ ^ + Qtc. 



(i _ x^f 



=z 1+ 51 ;^^ + 33 x-^ + (T Jt'^ 4- ctc. 



a 



M. Euler donne les fommations fuivantes 



(l — X^{i> 



I + A^ -^ B^ -f- C^ 



D'- + etc. — - f 



A-^-^a.v 





H-2(A4-S3B + eC-+- etc. =z - A /" '^^. , 



^^ /(X~;,6)''+- 



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